Hisoblash usullari

2.3. Runge-Kutta usuli

(30), (31) masalani echish uchun (34) ni quyidagicha yozib olamiz
x+h 1
y
yoki
y . (42)
(42) dagi integralni taqriban quyidagi kvadratur summaga o’xshash chekli summaga almashtiramiz:

∆y_i = ∑p_i K _i , (43)
i=1
bu erda
K ₁ = hf ( x,y ), K ₂ = hf ( x +α₂h,y +β₂K ₁ ),...

... K _r = hf ( x +α_r h,y +β_r ,K ₁ + ...+β_2r−1K _r−1 ).
Noma`lum _αi ,_βii−1 (i ₌ 2,3,...,r) va p_i (i =1,2,...,r) larni (43) ning chap va o’ng tomonlarini h ning darajalari bo’yicha Teylor qatoriga yoyilmasining iloji boricha ko’p hadlarini ixtiyoriy f (x, y) uchun bir xil bo’lish shartidan topiladi.
Quyida turli tartibli Runge-Kutta metodi bo’yicha hisoblash formulalarini keltiramiz [5]:
r ₌1. Birinchi tartibli metod
y(x + h) = y(x) + hf (x, y).
r = 2. İkkinchi tartibli metodlar

1. 
   y(x + h) = y(x) + [f (x, y) + f (x + h, y + hf (x, y)],
   
2. 
   y(x + h) = y(x) + hf [ (x + , y + f (x, y) ],
   

_

3. 
   y(x + h) = y(x) + [ f (x, y) + f (x + h, y + f (x, y)).
   

r ₌ 3. Uchinchi tartibli metodlar


Misol. y′ _{= +} x, y(1) ₌ 0 Koshi masalasini echimini x ₌1,1; 1,2; 1,3 x
nuqtalarda Runge-Kutta usuli bilan toping. x ₌1,4; 1,5 nuqtalarda esa Adams usuli bilan toping.
Yechish. k ₌ 3 bo’lganligi uchun Adams usulida (40), (41) formulalarni qo’llaymiz. Runge-Kutta usulida r=4 dagi birinchi formulani ishlatamiz. Odatda, jadval boshidagi echimni qiymatlarini topishda tanlangan metod tartibi Adams usuli tartibidan kichik bo’lmagan tartibli metod qo’llash kerak bo’ladi (yoki qadam h Adams usullaridagi qadamdan kichikroq bo’lishi kerak).
Bizning misolda h bir xil, shuning uchun k = 3 va r=4 deb oldik.
y_i+₁ = y_i + (k₁⁽ⁱ⁾ + 2k₂⁽ⁱ⁾ + 2k₃⁽ⁱ⁾ +k₄⁽ⁱ⁾),
bu erda
k1⁽ⁱ⁾ = hf (xi , yi ), k2⁽ⁱ⁾ = hf (xi + , yi + ),

formula yordamida i = 0,1,2 deb y₁, y₂ y₃ larni hisoblaymiz, so’ngra (40) formula bilan

ni hisoblaymiz. Endi esa topilgan y₄^э ni (41) formulani o’ng tomoniga qo’yamiz, natijani y₄^u deb belgilaymiz.
y^u₄= y₃ + [9 f (x₄, y₄^э ) +19 f (x₃, y₃) − 5 f (x₂, y₂) + f (x₁, y₁)].
Agar berilgan aniqlikda y₄^u _≈ y_n^э bo’lsa, y₄ ⁼y₄^э deb, y₅ ni (40) formula bilan topamiz. Aks holda y₄ = y₄^u deb, y₅ (40) formula bilan hisoblanadi.
Natija quyidagi jadvalda keltirilgan:

xk	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5
yk	0	0,1153	0,2625	0,4434	0,6595	0,9123

2.4. Eyler va Eyler-Koshi usullari

(30), (31) masala echimini taqribiy qiymati y(x_i )_≅ y_i quyidagicha aniqlansa
y_i+1 = y_i + hf (x_i , y_i ), i = 0,1,...
bu usul Eyler usuli bo’lar edi (Adams, Runge-Kutta usullarida k ₌ 0 bo’lgan hol). Eyler usulining quyidagi modifikatsiyalarini keltiramiz:

§3. Oddiy differentsial tenglamaga qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechish

3.1. Kollokatsiya usuli

Faraz qilaylik, bizga a ≤ x ≤ b da
L(y) ≡ y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) (47)
differentsial tenglama uchun
la(y)= α0 y(a) + α1y′(a) = A, (48) l_b(y)=β₀ y(b) + β₁y′(b) = B
chegaraviy shartlar berilgan bo’lsin [8], bu erda α₀² + α₁² > 0, β₀² + β₁² > 0. (47), (48) chegaraviy masala echimini quyidagi ko’rinishda izlaymiz:

y_n (x) =ϕ₀(x) + _kϕ_k (x), (49)

bu erda ϕ₀ (x)

l_a(ϕ₀) ≡ α₁ϕ′₀(a) + α₀ϕ₀(a)= A^,
l_b(ϕ₀) ≡β₁ϕ′₀(b) + β₀ϕ₀(b) = B
shartni, ϕ_k (x) (k =1,n) esa
l_a (ϕ_k ) = l_b (ϕ_k ) = 0
shartlarni qanoatlantiruvchi funktsiyalardir. Bundan tashqari {ϕ_k (x)}ⁿ_k=0 funktsiyalar sistemasi quyidagi shartlarni bajarishini ta`minlash kerak:
1.{ϕ_k (x)}ⁿ_k=0 - chiziqli bo\liqsiz;
2. ϕ_k (x)∈C₂[a,b], k = 0,n;
3.{ϕ_k (x)}ⁿ_k=0 funktsiyalar sistemasi ikki marta uzluksiz differentsiallanuvchi funktsiyalar sinfida to’liq bo’lishi kerak, ya`ni
y^(s) (x) − y_n^(s) (x) < ε, s = 0,1,2; x∈[a,b], ∀y(x)∈C₂[a,b], ε > 0.
ϕ_k (x) larni tanlanishiga ko’ra ixtiyoriy c_k (k =1,n) lar uchun (49) (48) shartlarni qanoatlantiradi. (49) ni (47) ga qo’yib, quyidagini hosil qilamiz
n
R(x,c₁,c₂,...,c_n )= L(y_n )− f (x)= L(ϕ₀)− f (x)+∑ⁿc_k L(ϕ_k ). (50)
k=1
Endi [a,b] ga tegishli kollokatsiya nuqtalari deb ataluvchi turli x₁, x₂,..., x_n nuqtalarni olib, c₁,c₂,...,c_n koeffitsientlarni topish uchun
R(x₁,c₁,c₂,...,c_n)= 0
R(x2,c1,c2,...,cn)= 0 (51)
... ... ... ... R(x_n,c₁,c₂,...,c_n)= 0
tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. (51) dan c₁,c₂,...,c_n larni topib, echimning taqribiy analitik ko’rinishi (49) ni hosil qilamiz.
Misol.
y′′(x) + 2xy′(x) − 2y(x) = 2,
y′(0) = −2,
y(1) + y′(1) = 0
chegaraviy masalani echish talab etilsin.
Yechish. ϕ₀(x) ni ϕ₀(x) = b + cx ko’rinishida izlaymiz.
ϕ′₀(x) = c va ϕ₀′(0) = −2 ⇒ c = −2.
y(1) + y′(1) = 0 ⇒ b − 2 − 2 = 0 ⇒ b = 4. Demak, ϕ₀ (x) = 4 − 2x .
ϕ_k (x) (k =1,2,...) funktsiyalar



shartlarni qanoatlantirishi kerak.
ϕ_k (x) = b_k + x^k+1 desak, b_k koeffitsientlarni ikkinchi tenglamadan topamiz.
Demak,
b_k = −(k + 2) ⇒ ϕ_k (x) = x^k+1 − (k + 2).
ϕ₁(x) = x² − 3,
ϕ₂(x) = x³ − 4^,
...
ϕ_n (x) = xⁿ⁺¹ − (n + 2).
(49) da n = 2 deb olaylik, unda
y₂(x) = 4 − 2x + c₁(x² − 3) + c₂(x³ − 4).
L(ϕ₀ ), L(ϕ₁), L(ϕ₂ ) larni topib, R(x,c₁,c₂ ) ni hosil qilamiz
ϕ₀(x)= 4 − 2x, ϕ₀′(x)= −2, ϕ₀′′(x)= 0,
L(ϕ₀ )=ϕ₀′′(x)+ 2xϕ₀′(x)− 2ϕ₀(x)= 2x ⋅(− 2)− 2(4 − 2x)= −4x − 8 + 4x = −8,
ϕ₁(x)= x² − 3, ϕ₁′(x)= 2x, ϕ₁′′(x)= 2,
L(ϕ₁)=ϕ₁′′(x)+ 2xϕ₁′(x)− 2ϕ₁(x)= 2 + 2x ⋅ 2x − 2(x² − 3)= 2x² + 8,
ϕ₂(x)= x³ − 4, ϕ₂′(x)= 3x², ϕ₂′′(x)= 6x,
L(ϕ₂ )=ϕ₂′′(x)+ 2xϕ₂′(x)− 2ϕ₂(x)= 6x + 2x ⋅3x² − 2(x³ − 4)= = 6x + 6x³ − 2x³ + 8 = 4x³ + 6x + 8.
R(x,c₁,c₂ )= L(ϕ₀(x))− f (x)+ c₁L(ϕ₁(x))+ c₂L(ϕ₂(x)).
Kollokatsiya nuqtalarini x₁ = , x₂ = deb olaylik, u holda quyidagilar
4 4
hosil bo’ladi:
L(ϕ₀(x₁))= −8, L(ϕ₀(x₂ ))= −8,
L ,
L ,
L ,
L .
Natijada quyidagi tenglamaga ega bo’lamiz: