Hisoblash usullari

3.1. Koshi masalasining MathCad da dasturiy ta`minotini yaratish

Differentsial` tenglamaning echimini izlashdan oldin uning echimi bor yoki yuqligi haqidagi quydagi teoremani keltiramiz.
Teorema. Differentsial` tenglamaning ung tarafidagi f x( ) funktsiyasi Lipshits shartini qanoatlantirsin:
agar x₁ −<x₂ < A, bwlsa f x( ₁)- f x( ₂)< M, bwladi bunda M- Lipshits doimiysi; x₁, x₂- lar [a b, ] kesmadan olingan f x( ) funktsiyasining aniqlanish soxasiga
tegishli nuqtalar.
U holda differentsial tenglama [a b, ] kesmada yolg`iz echimga ega bwladi.
Yani funktsiya birinchi tur uzilish nuqtasiga ega bwlsa u holda echim bor, agar ikkinchi tur uzilish nuqtasiga ega bwlsa echim yuq.
Koshi masalasini taqribiy echish
Koshi masalasi echimining bor bo’lishi haqidagi teorema quydagi iteratsion jarayonning yaqinlashuvchiligiga asoslangan, u (1) tenglamani integrallash asosida olingan.

Bu jarayon yuqoridagi shartlarda yaqinlashuvchi bwladi va oddiy differentsial tenglamani integrallash usuli Pikar usuli dep ataladi.
MathCad dasturi yordamida echish
Misol 1. Quydagi oddiy differentsial tenglamaga quyilgan Koshi masalasini echaylik.

Bu aniq yechim, taqribiy yechimni (2) formula asosida tuzamiz.
Uning MathCad tizimidagi dasturi quydagicha. Bu erda aniq echim bilan taqribiy echimlar taqqoslangan.




Misol 2. Chiziqli tenglamaga qoyilgan Koshi masalasini yeching.
.
Yechimi: Tenglamaning aniq yechimi erikli doimiyni variyatsiyalash yoki
birjinsli Lagranj usulidan foydalanib echiladi. Uning uchun dastlab

tenglama echimi topiladi. Birjinsli tenglama echimi

kurinishda qidiriladi, bunda s(t) –topish kerak bwlgan t-ning uzluksiz funktsiyasi va
p (t ) =1, q (t ) = t² .
Umumiy echim

formulasidan foydalansak

Aniq yechim x =−2e^−t +t^{2 --} 2t+2, kurinishida bo’ladi.
MathCad tizimidagi dasturi quydagicha. Bu erda aniq echim bilan taqribiy echimlar taqqoslangan.