Hisoblash usullari fanidan laboratoriya ishlari

16. EMBED Equation.3 20. EMBED Equation.3

LABORATORIYA ISHI № 9

Determinant va teskari matritsani hisoblash


Determinantni hisoblash. Gauss metodini ham, optimal yo’qotish metodini ham determinantni hisoblash uchun qo’llash mumkin. Quyidagi
EMBED Equation.3
matritsani determinantini topish talab qilinsin. Buning uchun bir jinsli, chiziqli
EMBED Equation.3 (1)
sistemani yechishga Gauss metodini qo’llaymiz. Natijada A matritsa
EMBED Equation.3
uchburchak matritsaga almashtiriladi, (1) sistema esa unga ekvivalent bo’lgan
EMBED Equation.3
sistemaga o’tadi.
Agar diqqat qilinsa, B matritsaning elementlari A matritsa va keyingi yordamchi A₁, A₂, …, A_n-1 matritsalardan quyidagi ikkita elementar almashtirishlar natijasida hosil bo’lgan:
1) noldan farqli deb faraz qilingan EMBED Equation.3 etakchi elementlarga bo’lish;
2) A matritsa va yordamchi A₁, A₂, …, A_n-1 larning satrlaridan mos ravishda etakchi satrlarga proporsional bo’lgan satrlarni ayirish.
Birinchi almashtirishlar natijasida matritsaning determinanti ham mos ravishdagi etakchi elementga bo’linadi, ikkinchi almashtirish esa determinantni o’zgarishsiz qoldiradi. Shuning uchun ham
EMBED Equation.3 ,
bu erdan esa
EMBED Equation.3 . (2)
Demak, determinant Gaussning kompakt sxemasidagi etakchi elementlarning ko’paytmasiga teng ekan.
Matritsa determinantini optimal yo’qotish metodi yordamida ham hisoblash mumkin. Bu erda ham determinant barcha etakchi
EMBED Equation.3
elementlarning ko’paytmasiga teng:
EMBED Equation.3 (3)
Agar etakchi elementlarning birortasi nolga teng bo’lsa, u holda satr bo’yicha bosh elementni tanlash sxemasidan foydalanish kerak. Lekin bu holda determinantning ishorasini saqlash uchun EMBED Equation.3 elementlarni EMBED Equation.3 ga ko’paytirish kerak bo’ladi. Bu erda EMBED Equation.3 soni, agar avvalgi EMBED Equation.3 qadamda yo’qotilmagan barcha noma’lumlar chapdan o’ngga qarab ketma-ket 1, 2, …, n – k lar bilan nomerlangan bo’lsa, (k+1) – qadamda yo’qotilgan noma’lumlarning nomerini bildiradi. Lekin hisoblash odatdagicha (2) yoki (3) formulalar bilan bajarilganda detA aytarli kichik (katta) bo’lmasada biror i uchun avvalgi i ta ko’paytuvchilarning ko’paytmasi mashina noliga teng bo’lishi yoki to’lib ortib ketishi mumkin.
Bunday nuqsondan qutilish uchun (3) formula bo’yicha detA ni quyidagicha hisoblash kerak:
EMBED Equation.3
Bu erda EXMdagi mumkin bo’lgan eng katta son yaqin bo’lib, r eng kichik songa yaqin va shu bilan birga EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 etakchi elementlar orasidagi moduli bo’yicha birdan kichik bo’lganlari, EMBED Equation.3 esa qolgan etakchi elementlar.