Gamma taqsimot va uning xossalari. 2.1.-Ta’rif. Agar t.m. zichlik funksiyasi
f (x) () x e
0,
, x 0,
x 0,
(1.2.1)
ko’rinishda bo’lsa, u holda t.m. gamma taqsimotiga ega deyiladi, bu yerda 0 ,
0 va
() t 1et dt
0
- gamma funksiya:
() ( 1)( 1) ,
(n) (n 1)!,
(1/ 2) .
Gamma taqsimotni , orqali belgilaymiz.
: , t.m. xarakteristik funksiyasini hisoblaymiz:
it
itx
1
x
1
( it ) x
(t) M e
e () x e dx () x e dx
0 0
(( it) x) 1e(it)xd ( it) x
1
it
.
()( it)
10 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3
( )
( it)
Demak,
t Meit
1
it
. Xarakteristik funksiya yordamida gamma
taqsimot momentlarini oson hisoblash mumkin: M , D .
Xossalari:
2
Agar
,..., bog’liqsiz t.m.lar bo’lib, :
, i 1,..., n
bo’lsa, u
1 n i
,j
holda
n
Sn j
j 1
ning taqsimoti
1
, n j
bo’ladi.
Bu xossani isbotlash uchun xarakteristik funksiyalardan foydalanamiz.
,
it
taqsimotning xarakteristik funksiyasi t 1
ga teng. Bog’liqsiz t.m.lar
yig’indisining xarakteristik funksiyasi xarakteristik funksiyalar ko’paytmasiga teng
ekanligidan foydalansak,
n
Sn j
j 1
t.m. xarakteristik funksiyasi
n
n n j j
t t 1 it 1 it j1
Sn j
j 1
j 1
bo’ladi.
it
1
j j1
n
xarakteristik funksiya esa
taqsimotning xarakteristik
n
,
1 j
funksiyasidir. ■
Agar standart normal taqsimotga ega bo’lsa, u holda 2
tasodifiy
miqdor1/2, 1/2
taqsimotga ega bo’ladi.
Buni ko’rsatish uchun avval
2 t.m.ning taqsimotini topamiz. Agar
x 0
bo’lsa: F 2
x P 2 x 0 ,
x 0
bo’lsa:
F 2 x P 2 x P
x F
x F x
bo’ladi. Bu yerda
F x- standart normal taqsimotning taqsimot funksiyasi. Endi
2 t.m.ning zichlik funksiyasini topamiz.
x 0
da:
f 2 x F 2 x F
x 1 F
x 1
1 f
x
f
2
x
1 f
2
x 1 e x/2 .
x 0
da:
2
f 2 x 0 .
Demak, 2 t.m.ning zichlik funksiyasi
e
f 2
x 1 x/ 2
2 x
1 / 212
1 / 2
x1/ 21e x/ 2 , x 0 ,
1/ 2,1/ 2
taqsimot zichlik funksiyasiga teng ekan. ■
,1 taqsimot parametrli ko’rsatkichli taqsimotdir.
Agar : ,1 bo’lsa, uning zichlik funksiyasi:
ex ,
f (x)
0,
x 0,
x 0
parametrli ko’rsatkichli taqsimot zichlik funksiyasidir.
Agar1,2 , ,k bog’liqsiz va standart normal taqsimotga ega t.m.lar
1 2
bo’lsa, u holda 2 2 K
2 :
1/2,k /2
bo’ladi.
k
Momentlar usulida noma’lum parametrni baholash, eng sodda va keng qo`llaniladigan usullardan biridir. Gamma taqsimotining momentlar usulidagi bahosini topamiz. Gamma funksiyaning zichlik funksiyasi quyidagicha:
f (x; ;
x2 1 exp x /
2 1
) 2
1 2 (
) 2 ,
agar
x 0
bo`lsa.
Birinchi tartibli nazariy moment quyidagiga teng:
x2 expx /
1
x 2
x
x
0 0
MX1
2 dx
e 1 dx
t
(2 ) 1 2
(2 )
1 1
1 t 2 e
(2) 0
tdt 1 t 2 de t
(2) 0
( )
0 2 1 2
=
1 t 2 e t |
2
t
0
2 1e
tdt X
Endi ikkinchi tartibli nazariy momentni hisoblaymiz:
x2 1 exp x /
2
x
2
1
MX 2
(
) 2
dx t
1
(
t 2 1e
)
tdt
0 2 1
2
1
2 (
2 0
1)
( )
0 2
( )
1
2
t 2 1e t |
(
1) t 2 e
0
tdt 1 2
2
t 2 e
0
tdt
2 ( 1)
( )
0 2
1 2 2
1 2
2
t 2 e t |
t
0
2 1e
tdt 2 ( 2
) X 2
Bu tenglamalardan foydalanib 1 va 2
larni topamiz.
µ S 2
µ ( X )2
1 X va 1
, (1.2.2)
S 2
baho bo`lar ekan. Bu baholar momentlar usuli bahosi hossasiga ko`ra asosli baho bo`ladi.
Gamma taqsimot haqiqatga maksimal o`xshashlik bahosini topishimiz uchun biz, avvalambor, uning haqiqatga o`xshashlik funksiyasini tuzib olishimiz kerak bo`ladi. Gamma taqsimot haqiqatga o`xshashlik funksiyasi quyidagiga teng:
Do'stlaringiz bilan baham: |