Halqa va algеbralar, yarim halqa, algеbra

6-Ta`rif . Agar to`plamlar halqasida , munosabatdan munosabat kelib chiqsa, bunday halqa -halqa deyiladi.

4-Teorema. Har qanday ikki A va B to`plam uchun quyidagi ayniyatlar o`rinli:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   

Isbot. Bu ayniyatlarning isboti bir-biriga o`xshash bo`lganigi sababli ulardan birini masalan, ushbu

ayniyatni isbotlash bilan chekanamiz. Buning uchun va munosabatni isbotlash kifoya. Faraz qilaylik, ixtiyoriy element bo`lsin bundan simmetrik ayirmaning aniqlanishiga asosan va yoki va munosabastlarning biriga ega bo`lamiz. Bulardan mos ravshda va yoki va munosabatlar kelib chiqadi. Bularning har ikkalasi uchun ham munosabat o`rinli. Bundan va elementning ixtiyoriyligidan kelib chiqadi

Endi bo`lib ixtiyoriy element bo`lsin. Bundan va yoki va munosabatlardan biriga ega bo`lamiz. Bulardan mos ravshda va yoki va munosabat kelib chiqadi. Bularning har ikkalasi uchun ham munosabat o`rinli. Bundan elementning ixtiyoriyligidan munosabat kelib chiqadi.

5-Teorema. Har qanday hamda to`plamlar uchun ushbu

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   ihtiyoriy natural son )munosabatlar o`rinli.
   

Agar va to`plamlar o`zaro kesishmasa, u holda munosabat o`rinli.