Guruh talabasining ehtimollik va statistika

Erlang qonunlarining ayrim tatbiqi.
Amaliyot tomonidan ilgari surilgan masalalarni echishda uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning turli xil taqsimotlari bilan shug'ullanish kerak. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarning tarqalish zichligi, shuningdek, taqsimot qonunlari deb ataladi. Ko'pincha, masalan, bir xil, normal, eksponent va boshqa taqsimlanish qonunlari mavjud.
Agar tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari tegishli bo'lgan oraliqda taqsimot zichligi doimiy bo'lib qolsa, ehtimollik taqsimoti bir xil deyiladi.
Tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari (a, b) intervalda mavjud bo'lib, f (x) funktsiyasi doimiy bo'lib qoladi deb faraz qilib, bir xil taqsimot f (x) zichligini topaylik:
Gipotezaga ko'ra, values ​​(a, b) oralig'idan tashqarida qiymatlarni qabul qilmaydi, shuning uchun x b uchun f (x) = 0 bo'ladi. Doimiy S ni topaylik, chunki tasodifiy miqdorning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari (a, b) intervalga tegishli bo'lsa, u holda munosabat

Bu yerda

Shunday qilib, bir xil taqsimotning izlangan ehtimollik zichligi

Yagona taqsimot zichligi grafigi shakl. 1.1.



1.1-rasm. Yagona qonunning tarqalish zichligi uchastkas

Funktsiya va taqsimot zichligi o'rtasidagi bog'liqlik formulasiga muvofiq kümülatif taqsimlash funktsiyasi uchun quyidagilarni yozishingiz mumkin:

Va nihoyat, integral taqsimot funktsiyasining xususiyatlarini hisobga olgan holda formulani olamiz



(1) va (2) formulalardan kelib chiqadiki, bir xil taqsimot ikki parametrli taqsimot qonuni hisoblanadi, chunki zichlik va taqsimlash funktsiyasi ikkita "a" va "b" parametrlari bilan aniqlanib, pastki va yuqori chegaralarini cheklaydi. tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari mintaqasi.
Bir tekis taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishini va dispersiyasini aniqlaylik


(3) formuladan kelib chiqadiki, bir xil taqsimot bilan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi uning mumkin bo'lgan qiymatlari maydonini belgilaydigan intervalning o'rtasiga teng bo'ladi.
Quyidagi formula bo'yicha dispersiyani topamiz:

Kublarning farqini koeffitsientlarga ajratib, fraksiyalarni dispersiya uchun chiqargandan so'ng quyidagilarga erishamiz:



Bir tekis taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi quyidagicha bo'ladi:

Izoh. R (0, 1) oralig'ida bir tekis taqsimlangan uzluksiz tasodifiy miqdorni va r - uning mumkin bo'lgan qiymatlarini belgilaymiz. (0, 1) intervalga tegishli bo'lgan (s, d) oraliqdagi R qiymatini (sinov natijasida) urish ehtimoli uning uzunligiga teng:

Darhaqiqat, ko'rib chiqilayotgan bir xil taqsimotning zichligi

Shuning uchun, R tasodifiy o'zgaruvchining (c, d) oralig'iga tushish ehtimoli (2.8-darsga qarang)

Erlang taqsimoti
Erlang taqsimoti musbat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarni ehtimoliy tayinlash uchun ishlatiladigan ikki parametrli taqsimot qonuni bo'lib, bu ehtimollik masalalarining katta qismiga xosdir. Erlang taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik zichligi formula bo'yicha aniqlanadi

Formuladan (2.1) ko'rinib turibdiki, ehtimollik zichligi ikkita parametr k va λ qiymatlariga bog'liq. K parametri Erlang taqsimotining tartibi deb nomlanadi va u k = 0, 1,2, ... tamsayı qiymatlariga ega bo'lishi mumkin.
Erlang taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutishi va dispersiyasi quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:


Birinchi darajali Erlang taqsimotiga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchi uchun F (x) tarqatish funktsiyasini olamiz k = 1. (2.1) formulani funktsiya va taqsimot zichligi o'rtasidagi bog'liqlik formulasiga almashtiramiz, F (x) uchun olamiz :

Biz qismlar bo'yicha integratsiya usulidan foydalanamiz. Buning uchun biz yozuvni joriy qilamiz:



Bu erdan
Qabul qilingan belgilarga muvofiq biz quyidagilarni olamiz:

Formula (2.4) birinchi darajali Erlang taqsimotiga ega bo'lgan doimiy tasodifiy o'zgaruvchining berilgan oralig'iga tushish ehtimolini aniqlashni osonlashtiradi.

Erlang taqsimotining nol k = 0, birinchi k = 1 va ikkinchi darajali k = 2 ning λ = 2 darajadagi ehtimollik zichligi grafikalari 2.1-rasm a) da, tarqatish funktsiyasining grafikalari esa shakl. .2.2 b).

Shakl 2.1a) Erlang taqsimotining ehtimollik zichligi uchastkalari

2.1b-rasm) Erlang tarqatish funktsiyasi sxemalari
Erlang taqsimotining yuqori tartibi bilan taqsimlash funktsiyasi formulasi ancha murakkab bo'lib chiqadi va ma'ruzada ko'rib chiqilmaydi.
3. Eksponensial (eksponent) taqsimot qonuni.
Ko'rsatkichli taqsimot k = 0 uchun Erlang taqsimotining alohida holatidir.
Eksponent (eksponensial) uzluksiz tasodifiy X miqdorining zichligi bilan tavsiflanadigan ehtimollik taqsimoti deyiladi
bu erda λ doimiy ijobiy qiymat.
(3.1) ifodadan kelib chiqadiki, eksponensial taqsimot bitta parametr bilan aniqlanadi.
Eksponensial taqsimotning bu xususiyati uning ko'p sonli parametrlarga bog'liq bo'lgan taqsimotlarga nisbatan ustunligini ko'rsatadi. Odatda parametrlar noma'lum va ularning taxminlarini topish kerak (taxminiy qiymatlar) Albatta, bitta parametrni ikki yoki uchdan ko'ra baholash osonroq va hokazo. Ko'rsatkichli qonunga muvofiq taqsimlangan doimiy tasodifiy o'zgaruvchiga misol eng oddiy oqimning ketma-ket ikkita hodisasi sodir bo'lishi o'rtasida.
Ko'rsatkichli qonunning taqsimot funktsiyasini topaylik.




Ko'rsatkichli qonunning zichligi va taqsimlanish funktsiyasi grafikalari shakl. 3.1.

3.1-rasm Zichlik uchastkalari va eksponensial taqsimlash funktsiyalari

Taqsimot funktsiyasi tomonidan berilgan eksponensial qonun bo'yicha taqsimlangan doimiy X tasodifiy o'zgaruvchining (a, b) intervaliga tushish ehtimolini topaylik.

Biz tasodifiy o'zgaruvchining ma'lum bir intervalga tushish ehtimolini hisoblash uchun taniqli formuladan foydalanamiz, ya'ni:


Shuni hisobga olsak

Funktsiya qiymatlarini jadvaldan topish mumkin.

Funktsiya xizmatlarini jadvaldan topish mumkin.

Matematik kutishni doimiy tasodifiy miqdor uchun hisoblash formulasidan foydalanib topamiz:

Shunday qilib, eksponensial taqsimotning matematik kutilmasi parametrning o'zaro ta'siriga teng.

Uzluksiz tasodifiy miqdor uchun uni hisoblash formulasidan foydalanib, dispersiyani topaylik:


Qismlarga bo'linib, biz olamiz


Shuning uchun:
Keling, standart og'ishni topaylik, buning uchun dispersiyaning kvadrat ildizini chiqaramiz:

ya'ni matematik kutish va eksponensial taqsimotning standart og'ishi bir-biriga tengdir.

Foydanilgan adabiyotlar