Guruh talabasi Qabul qildi: To’xtasinova Nafisa. Farg’ona 2022 Lobachevskiy geometriyasi reja: kirish I bob. Noyevklid geometriyasi

1.2-§. Lobachevskiy aksiomasi va undan kelib chiqadigan dastlabki xulosalar
Lobachevskiy geometriyasining aksiomatikasi absolyut geometriya aksiomalari qatoriga Lobachevskiy aksiomasini qo’shish bilan hosil qilinadi. Demak, Lobachevskiy geometriyasida absolyut geometriyaning barcha ta’rif va teoremalari o’z kuchini saqlaydi.
V.Lobachevskiy aksiomasi. Tekislikda to’g’ri chiziq tashqarisida olingan nuqtadan bu to’g’ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan uning bilan kesishmaydigan to’g’ri chiziq o’tishligini tasdiqlovchi fakt absolyut geometriyaga taalluqlidir, bu to’g’ri chiziqning yagonaligini parallellik aksiomasi tasdiqlaydi. Lobachevskiy aksiomasi esa bunday to’g’ri chiziqning kamida ikkitaligini tasdiqlaydi.
1-teorema. Lobachevskiy tekisligida to’g’ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan bu to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan cheksiz ko’p to’g’ri chiziq o’tadi.
Isbot. Lobachevskiy aksiomasiga asosan nuqtadan to’g’ri chiziq bilan (14–chizma) kesishmaydigan va to’g’ri chiziqlari o’tsin. to’g’r chiziqda shunday nuqtani olamizki, bu nuqta va to’g’ri chiziq to’g’ri chiziq bilan aniqlanadigan turli yarim tekisliklarga tegishli bo’lsin. to’g’ri chiziqda ixtiyoriy nuqtani olib, to’g’ri chiziqni o’tkazsak, bu to’g’ri chiziq bilan biror nuqtada kesishadi, nuqta bilan orasida yotadi. kesmaning ixtiyoriy nuqtasini olib, to’g’ri chiziqni o’tkazsak, bu to’g’ri chiziq bilan kesishmaydi. Haqiqatan ham, bilan to’g’ri chiziq biror nuqtada kesishadi deb faraz qilib, uchburchak va to’g’ri chiziqqa nisbatan Pash aksiomasini qo’llasak, bilan kesishadi, degan xulosaga kelamiz. Bu esa shartga zid.
Demak, kesma nuqtalari cheksiz ko’p bo’lgani uchun ga o’xshash cheksiz ko’p to’g’ri chiziqlar nuqtadan o’tib, bilan kesishmaydi.
Beshinchi postulatning barcha ekvivalentlari ham Lobachevskiy geometriyasida o’z kuchini yo’qotadi, jumladan, uchburchak ichki burchaklarning yig’indisi endi ga teng emas. Lekin uchburchaklarning ichki burchakalrning yig’indisi dan katta emas degan teoremani nazarda tutsak, mantiqan quyidagi natija kelib chiqadi.
3-rasm.
2-teorema. Lobachevskiy tekisligida uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi dan kichik.