|
Kurs ishining dolzarbligi. Qadim zamonlardan beri geometriyaning yaratilish tarixi muhim hisoblanib kelgan. Lobachevskiy aytganidek: “Matematikaning har bir sohasi qancha abstrakt bo’lmasin, qachonlardir u borliq olam hodisalarida qo’llaniladi”. Ma’lumki, Lobachevskiy geometriyasi fanga noma’lum bo’lgan bir qancha yangiliklarni olib kirdi.
Kurs ishining maqsadi. Lobachevskiy geometriyasining vujudga kelishi va uning xususiyatlarini o’rganish, Lobachevskiy geometriyasi elementlarini hayotga tadbig’ini o’rganish.
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish;
2. Kasb-hunar kollejlari va akademik litseylarda o’quvchilarning fikrlash jarayonini оshiruvchi ma’lumotlarni o’rganish;
3. Lobachevskiy geometriyasini o’rganish;
4. Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish.
Ushbu tayyorlagan kurs ishim, ilm yo‘lidagi kichik bir ishim ham ya’ni jamiyat barpo etishdagi, rivojlangan erkin bozor iqtisodiyoti tamoyillari amal qiladigan, odamlar hayotini yuksak darajada ko‘tarish imkonini beradigan demokratik tuzimining umum e’tirof etilgan xalqaro mezonlariga erishishi uchun, mamlakatimizning, dunyo rivojiga o‘z hissamizni qo‘shishimiz uchun ilk qadamimizdir.
I BOB. NOYEVKLID GEOMETRIYASI HAQIDA
1.1-§. Noyevklid geometriyasining ochilishi
XVIII acp va XIX asrning birinchi yarmida yashab ijod qilgan ko‘pgina geometrlar postulatni isbotlash uchun quyidagicha usul qo‘llashgan.
A` B`
A B
1-rasm.
Beshinchi postulatni uning inkori yoki uning inkoriga
ekvivalent bo‘lgan tasdiq bilan almashtirilgan. Bu usul bilan
o‘zgartirilgan postulatlar va aksiomalar sistemasiga tayanib,
mumkin bo‘lgan va ulardan kelib chiqadigan barcha jumlalar
Evklidning «Negizlar» asaridagiga o‘xshash isbotlangan. Agar
postulat qolgan postulat va aksiomalardan kelib chiqsa, u holda
o‘zgartirilgan postulat va aksiomalar sistemasi ziddiyatga keladi.
Shuning uchun qachondir bir–biriga zid keladigan jumlalarga
kelamiz. Natijada, postulat isbot bo‘ladi, deb fikr yuritishgan.
Xuddi shu usul bilan postulatni isbotlashga D.Sakkeri
(1667–1733), N.G.Lamberg (1728–1777) va M.A Lejandrlar (1752–1833) urinishgan.
Sakkeri (1733 y) asosidagi ikkiga burchagi to‘g‘ri, yon tomonlari teng bo‘lgan to‘rtburchak qaraydi (5–rasm). Bu to‘rtburchakning qolgan ikkita burchaklari o‘zaro teng ekanligini ko‘rsatish mumkin. Sakkeri bu burchaklar uchun quyidagicha uchta gipotezani o‘rganadi: 1) Ikkala burchagi to‘g‘ri; 2) Ikkala burchagi o‘tmas; 3) Ikkala burchagi o‘tkir.
Sakkeri to‘g‘ri burchak gipotezasi postulatga ekvivalentligini isbotlaydi, ya’ni to‘g‘ri burchak gipotezasini postulat qilib olib postulatni isbotlaydi va aksincha, postulatdan foydalanib to‘g‘ri burchak gipotezasini isbotlaydi. O‘tmas burchak gipotezasini postulat sifatida olib ziddiyatga keladi, so‘ngra o‘tkir burchak gipotezasini postulat sifatida oladi. Natijada, Sakkeri o‘rgangan geometriya nuqtai nazaridan bema’ni har xil xulosalarga keladi. Masalan:
Parallel to‘g‘ri chiziqlar faqat bitta umumiy perpedikulyarga ega va perpendikulyarning ikkala tomonida to‘g‘ri chiziqlar cheksiz uzoqlashishadi yoki ular umumiy perpendikulyarga ega emas bitta yo‘nalish bo‘yicha cheksiz yaqinlashishadi, ikkinchi yo‘nalish bo‘yicha cheksiz uzoqlashishadi.
Sakkeri mantiqiy ziddiyatga qolishga harakat qiladi va hisoblashlardagi xatoliklar natijasida ziddiyatga keladi.
Lambert (1766 y) Sakkerinikiga o‘xshaydigan to‘rtburchak qaraydi. U uchta burchagi to‘g‘ri bo‘lgan to‘rtburchakni olib, to‘rtinchi burchagi uchun Sakkeriga o‘xshash uchta gipoteza qaraydi (6–rasm). Lambert to‘g‘ri burchak gipotezasi postulatga ekvivalentligini isbotlaydi, hamda o‘tmas burchak gipotezasi mumkin emas degan xulosaga keladi. Sakkeriga o‘xshash Lambert o‘tkir burchak gipotezasini postulat sifatida olib ko‘pgina natijalar oladi. Lambert ham Sakkeri singari mantiqiy ziddiyat topa olmaydi.
Lambert o‘tkir burchak gipotezasi natijalarini rivojlantira borib, sfera ustidagi geometriyaga o‘xshashligini aniqlaydi va «o‘tkir burchak gipotezasi qaysidir mavhum sferada o‘rinli» deb to‘g‘ri fikrni oldinga suradi. XVIII asr geometrlari ichidagi postulat haqidagi gipotezaning to‘g‘ri yechimiga Lambert yaqin kelgandi.
Lejandr postulatni isbotlash uchun quyidagicha uchta gipoteza qaraydi:
Uchburchak ichki burchaklari yig‘indisi 2d ga teng.
Uchburchak ichki burchaklari yig‘indisi 2d dan katta.
Uchburchak ichki burchaklari yig‘indisi 2d dan kichik.
Lejandr birinchi gipoteza postulatga ekvivalentligini, ikkinchi gipoteza mumkin emasligini isbotlaydi va nihoyat uchinchi gipotezani qabul qilib ziddiyatga uchraydi. U bu ziddiyatga o‘zi bilmagan holda postulat ekvivalentlaridan birini qo‘llash natijasida (6-rasm) uchragandi.
postulat muammosini hal etish uchun ilmiy izlanishlar olib borgan olimlardan biri shoir, faylasuf, matematik va astronom Umar Xayyom (1048– 1131 y.)dir.
C D
B A
2-rasm.
Umar Xayyomning «Evklid kitobining qiyin postulatlarga sharhlar» (1077 y.) nomi asarida postulat muammosi bayon etilgan. Bu asarda Xayyom parallel to‘g‘ri chiziqlar nazariyasi sohasida o‘zidan oldin o‘tgan matematiklar – Geron, Evtokiy, al– Xaziniy, ash–Shoniy, an–Nayriziy, Ibn al – Xaysam kabi olimlarning ishiga to‘xtalib, ularning postulatga bergan isbotlari to‘la emasligini ta’kidlaydi va ular quyida keltirilgan faylasuf (Aristotel)dan o‘zlashtirilgan prinsiplarga e’tibor qaratmaganlarini tanqid qiladi.
Miqdorlarni cheksiz ravishda bo‘lish mumkin, ya’ni ular bo‘linmaydiganlardan tuzilgan.
To‘g‘ri chiziqni cheksiz davom ettirish mumkin.
Har qanday kesishuvchi ikki to‘g‘ri chiziq kesishish burchagi uchidan nari ketgan sari bir–biridan uzoqlasha boradi.
Yaqinlashuvchi ikki to‘g‘ri chiziq kesishadi, ularning– yaqinlashuvi ikki to‘g‘ri chiziq yaqinlashish yo‘nalishida bir–biridan uzoqlashib ketishi mumkin emas.
O‘zaro teng bo‘lmagan ikkita chekli miqdordan, kichigini shunday karrali marta olish mumkinki, u kattasidan ham oshib ketadi.
Bu yerda to‘rtinchi prinsip postulatga ekvivalent.
Dastlab Umar Hayyom quyidagi 8 ta jumla (teorema)larni isbotlaydi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
