Guruh talabasi Qabul qildi: To’xtasinova Nafisa. Farg’ona 2022 Lobachevskiy geometriyasi reja: kirish I bob. Noyevklid geometriyasi

16-teorema. Uchburchakning uchala tomonlari o’rtalaridan chiqarilgan uchta perpendikulyar yo bir nuqtada kesishadi, yoki uchalasi uzoqlashuvchi, yoki uchalasi ham bir yo’nalishda parallel bo’ladi.
Isbot. 1-hol. uchburchakning tomonlari o’rtalariga o’tkazilgan

11-rasm.
perpendikulyar bo’lib, lar nuqtada kesishadi deylik. nuqta uchburchakning uchala uchidan barobar uzoqlikda yotgani uchun, u ning o’rta perpendikulyari da ham yotishi kerak, demak, o’rta perpendikulyardan ikkitasi kesishsa, uchinchisi ham shu nuqtada o’tadi.

2-hol. o’rta perpendikulyarlar uzoqlashuvchi bo’lsin (27-chizma). U holda ning ham , ham bilan uzoqlashuvchanligini isbotlaymiz. 15-§ dagi 13-teoremaga asosan uzoqlashuvchi bo’lgani uchun ular yagona umumiy perpendikulyarga egadirlar, u umumiy perpendikulyar bo’lsin. to’g’ri chiziqqa nuqtalardan perpendikulyarlar tushiraylik, ular mos ravishda bu to’g’ri chiziq bilan, nuqtalarda kesishsin. Hosil bo’lgan to’rtburchakka nazar solsak, bu to’rtburchakning va tomonlariga umumiy perpendikulyar bo’lib, to’rtburchak ga nisbatan simmetrik joylashgan, demak, . u holda va to’rtburchaklarning har biri Sakkeri to’rtburchagi bo’ladi. Shunga o’xshash ham Sakkeri to’rtburchagi bo’ladi. bu to’rtburchakning o’rta chizig’i bo’lgani uchun .
Demak, larning har biri to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’lib, 15-§ dagi 11-teoremaga asosan ular o’zaro uzoqlashuvchidir.
3-hol. va lar 28-chizmada ko’rsatilgan yo’nalishda o’zaro parallel bo’lsin. U holda to’g’r chiziq bilan kesisha olmaydi va uzoqlashuvchi bo’lolmaydi (aks holda birinchi va ikkinchi hollarga qaytar edik). Demak, ular bir-biriga parallel. Endi uchala to’g’ri chiziqning umumiy yo’nalishda parallel bo’lishini ko’rsatamiz. Bu hol uchun uchburchak teng tomonli yoki teng yonli bo’lmasin (aks holda uchala o’rta perpendikulyar kesishadi). tomon eng kata tomon bo’lsin. lar ni albatta kesib o’tadi, chunki to’g’ri chiziq ni kesmasa, Pash aksiomasiga asosan, ni biror nuqtada kesadi. U holda . Lekin bo’lib, demak, . Bu bilan kesishgan nuqtalari bo’lsin. Bu uchta nuqtadan biri qolgan ikkitasi orasida yotadi, masalan, nuqta bilan orasida yotsin. U holda bo’lgani uchun burchak ichidan chiqqan har qanday nur albatta ni biror nuqtada kesadi. Bu vaqtda to’g’ri chiziq parallel to’g’ri chiziqlar orasida yotgani uchun uni ham nur biror nuqtada kesadi, demak burchak ichidan chiqqan har qanday nur bilan kesishar ekan. Binobarin, dan ga qarab ekan. Bu teoremadan, Lobachevskiy tekisligida tashqi aylanaga ega bo’lmagan uchburchak mavjud, degan xulosa chiqarish mumkin.
Pirovardida Lobachevskiy tekisligidagi to’g’ri chiziqlarning joylashishidagi xususiy bir hol bilan tanishib chiqaylik. Tayin burchak berilgan bo’lsin, uning uchidan ichki bissektrisasini o’tkazaylik (29-chizma). 14-teoremaga asosan o’tkir burchakka parallellik kesmasi mos keladi. nuqtadan ga perpendikulyar ni o’tkazsak, 14-§ dagi 10-teoremaga asosan ( dan ga qarab yo’nalishda) bo’ladi, xuddi shunga o’xshash ( dan ga qarab yo’nalishda). Natijada nurlardan va to’g’ri chiziqdan iborat figura hosil bo’ladi, buni “uchburchak” deb atasak ham bo’ladi, bu uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi berilga ga tengdir, chunki parallel to’g’ri chiziqlar orasidagi burchakni nolga teng deb olish mumkin.