Guruh talabasi O’ralov Mirjahon Mavzu: O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida integrallash. R e j a

110-20 guruh talabasi

O’ralov Mirjahon

Mavzu: O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida integrallash.


R E J A:

1. 
   O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi
   

2. 
   O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini yechish usullari
   

3. 
   O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini matritsalar usulida yechish
   

O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi.

Bunday sistemaning sodda ko’rinishi

dan iborat, bunda   o’zgarmas sonlar.  esa ko’rilayotgan oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyadir.

Ma’lumki, bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topish uchun, unga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishga to’g’ri keladi. Shuning uchun xam biz dastavval o’zgarmas koeffisiyentli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini kvadraturasiz topish usulini qaraymiz.

Bir jinsli, o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.

 (2)

Ma’lumki (2) sistemani, unga ekvivalent bo’lgan bitta  -tartibli differensial tenglamaga keltirish mumkin.

Shuning uchun (2) sistemasining xususiy yechimlarini

 (3)

ko’rinishda izlaymiz.

Bunda  va  lar o’zgarmas sonlardir. Ularni shunday tanlab olamizki (3), (2) sistemani qanoatlantirsin.

Buning uchun (2) ga (3) olib borib qo’yamiz.

yoki  buni ochib yozsak

 (4).

Bu   larga nisbatan bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasidir.Bu sistema trivial bo’lmagan yechimga ega bulishligi uchun, uning asos determinanti nolga teng bo’lishi zarur.

 (5).

(5) ga (2) sistemaga mos bo’lgan xarakteristik tenglama deyiladi. Uning ildizlariga xarakteristik son deyiladi.

(5)  ga nisbatan n- darajali algebraik tenglamadir

(3), (2) sistemaning xususiy yechimi bo’lishligi uchun   (5) xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lishi kerak.

(4) ning koeffisiyentlaridan ushbu matrisani tuzamiz

 (6).

a) Faraz etaylik xarakteristik tenglamaning   ildizlari haqiqiy va bir-biriga teng bo’lmasin.

Agar   ildizni (5) ga olib borib qo’ysak

 (7) bo’ladi.

Isbot etamizkim  qiymatda (5) determinantning xech bo’lmaganda   tartibli minorlaridan biri nolga teng bo’lmaydi.

Haqiqatan xam   xarakteristik tenglamaning oddiy ildizi bo’lgani uchun

 (8)

nolga teng bo’lmaydi.

Ikkinchi tomondan

 (9)

Bunda   determinantdagi   elementining algebraik tuldiruvchisi bo’ladi.Agar  kiymatini (9) keltirib qo’ysak (8) ga asosan   larning xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi, ya’ni (9) dagi n-1 tartibli determinantlardan xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi. Bundan, (6) matrisaning rangi n-1 ga tengligi kelib chiqadi. Ya’ni (4) sistemadagi tenglamalardan biri qolganlarini natijasi ekanligi kelib chiqadi. U xolda (4) sistema trivial bo’lmagan  yechimlarga ega . Lekin matrisaning rangi n-1 ga teng bo’lgani uchun, bu ildizlar bir-biridan o’zgarmas songa fark kiladi.

Bunda  lar o’zgarmas sonlardir.

Agar   teng deb, bu qiymatlarni (3) ga qo’ysak, xarakteristik tenglamaning   ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning xususiy yechimlari.

 (10)

ga ega bo’lamiz.

Ma’lumki (2) sistemaning xususiy yechimlarini biror o’zgarmas songa ko’paytirsak, xosil bo’lgan ifoda yana berilgan sistemaning yechimi bo’ladi. Shunga kura, xarakteristik tenglamaning   ildizlari uchun yukoridagi muloxazalarni ishlatsak, sistemaning n- ta (10) ko’rinishdagi xususiy yechimlarini aniqlash mumkin. Isbot etish mumkinkim, bu topilgan xususiy yechimlar, berilgan sistemaning fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi.

Misol 1

xarakteristik tenglama tuzamiz

b) Farazetaylikxarakteristiktenglama konpleksildizgaegabo’lsin. Xarakteristiktenglamaningkoeffisiyentlarihaqiqiysonalardaniboratbo’lganiuchunu gaqo’shmabo’lgan kompleksildizgaxamegabo’ladi. Xarakteristik tenglamaning   ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimi

kompleks son bo’lgani uchun uni  ko’rinishda yozish mumkin. U xolda

yechimlarga ega bulamiz. Bundan kurinadikim xarakteristik tenglamaning bir juft kompleks ildiziga (2) sistemaning 2 ta haqiqiy yechimi mos keladi.

Misol 2

v) Faraz etaylik xarakteristik tenglama karrali ildizlarga ega bulsin.

U xolda sistemaning umumiy yechimini oldingi metodlar bilan topa olmaymiz. Lekin bu xolda xam uning umumiy yechimini elementar funksiyalar yordamida topish mumkin. O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamada qurgan edikim agar  xarakteristik tenglamaning k- karrali ildizi bo’lsa, tenglamaning bu ildizlariga mos bo’lgan k ta chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlari mavjud bo’ladi. Sistema uchun kuyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.

TEOREMA. Agar  xarakteristik tenglamaning k karrali ildizi bulsa, bu ildizga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimlari

 (11)

ko’rinishda bo’ladi.

Bunda  lar  ga nisbatan darajasi   dan katta bo’lmagan ko’p xadlilardir. Bu ko’p xadlilarning xar birida  ta o’zgarmas sonlar qatnashadi. Bu ko’pxadlilarning xammasidagi xamma koeffisiyentlardan   tasi ixtiyoriy bo’lib, qolgan koeffisiyentlar shu   ta koeffisiyentlar orqali ifodalanadi.Xususiy xolda  ko’pxadlilar o’zgarmas songa teng bo’lishi mumkin. Bu xolda xarakteristik ildizga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimi

bo’ladi.

Bundagi   sonlardan k tasi ixtiyoriy bo’lib, qolgan  koeffisiyentlar ular orqali ifodalanadi.

Amaliyotda  ko’pxadlilarning koeffisiyentlarini topish uchun, ularni berilgan (2) sistemaga kuyib, bu ko’pxadlalarning koeffisiyentlariga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bulamiz. Bu koeffisiyentlardan k tasini ixtiyoriy deb, qolgan koeffisiyentlarni ular orqali ifodasini topamiz.

Misol 3

bularni berilgan tenglama kuyib, aniqmas koeffisiyentlar metodidan foydalansak  larga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bulamiz.

bulardan

yechimlar

xususiy yechimlarni topish

1) 

2) 

3) 

Agar da

desak

O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi

 (1) 

berilgan bo’lsin.

Ma’lumki (1) sistemani vektorli

 (2)

ko’rinishda xam yozish mumkin. Bunda

Birustunlimatrisayoki o’lchovlivectorustun (2) vektorlitenglamauchunKoshimasalasi

(2)tenglamani yechimini

 (3)

ko’rinishda izlaymiz. Bunda B, n  tartibli matrisa

(3) ni (2) ga keltirib qo’ysak

yoki

 (4)

tenglama ega bo’lamiz. Bunda E birlik matrisa

trivial bo’lmagan   matrisa (4) tenglamani qanoatlantirishi uchun

 (5)

matirisaning maxsus bo’lishi zarur va yetarlidir. Ya’ni uning determinanti

 (6).

(6) ga (2) sistemaga mos bo’lgan xarkteristik tenglama deyiladi.

soniga A matrisaning xos qiymati, V vektor esa λ ga mos bo’lgan xos vektor deyiladi.

(6) xarkteristik tenglamaning xar bir λ_k ildizi uchun (4) tenglamadan nolga teng bo’lmagan

Matrisanianiqlaymiz.

(2) vektorlitenglamaningixtiyoriy tachiziqlibog’liqbo’lmagan

vektorli yechimlarga (2) tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi deyiladi. Bunda quyidagi xollar bo’lishi mumkin.

1xol

Xrakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiyva bir-biriga teng emas.

U xolda (2) tenglama n-ta yechimlarga ega bo’lib ularni

 (7)

ko’rinishda yozish mumkin. Isbot etish mumkinkim bular (2) tenglamaning fundamental yechim sistemasini tashkil etadi.U xolda (2) tenglamaning umumiy yechimi

 (8)

dan iborat bo’ladi.

Misol-1

2 xolxarakteristiktenglama kompleksildizgaegabo’lsinBuxolda (2) tenglamaningyechimibuildizgamosbo’lganyechimi

 kompleks son bo’lgani uchun uni

ko’rinishda yozish mumkin   ga asosan

Misol

3 xol.

Agarxarakteristiktenglamar-karraliλ_sildizgaegabo’lsa, uxolda, buildizgamosbo’lgan (2) tenglamaningyechimi

dan iborat buladi.

Misol-2

buni berilgan tenglamaga qo’yamiz

bundan

A₁ , A₂ ixtiyoriy

Endi (2) tenglamaning   ta chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlaridan   matrisani tuzamiz.

u xolda

 (9)

ga matrisali tenglama deyiladi.

ga

Vronskiy determinanti deyiladi. Agar U(x) matrisa, (9) matrisiali tenglamani qanoatlantirsa, unga (9) tenglamaning integrali yoki fundamental matrisasi deyiladi. (matrisali yechim) Bundan ko’rinadikim chiziqli differensiali tenglamalar sistemasini

ni  vektorli ravishda yoki 

matrisali ravishda yozish mumkin. Bu tenglamalr orasidagi boglanish shundan iboratki   matrisali yechimning ustunlari (2) tenglamaning uzaro chiziqli bog’liq bo’lmagan vektorli yechimlarni tashkil etadi.

Agar A(x) matrisa funksiya, o’zgarmas matrisa bo’lsa.

o’zgarmas koeffisiyentli matrisali

tenglamaning yechimini

ko’rinishda izlaymiz bunda   tartibli matrisa

Agar o’zgarmas matrisa uchun

tenglik bajarilsa, u xolda   son A matrisaning xos soni (xos qiymati),   vektorga esa   ga mos bo’lgan xos vektor deyiladi.

TEOREMA.Y(x) matrisa (9) tenglamaning fundamental matrisasi bo’lishi   oraliqdagi qiymatlar uchun

shartining bajarilishi zarur va yetarlidir.

TEOREMA 2.Agar   matrisa (9) tenglamaning biror intervalda aniqlangan matrisali yechimi bo’lsa u xolda   xam bu tenglamaning yechimi buladi.

Ya’ni 

S,   tartibli ixtiyoriy o’zgarmas matrisa xakikatan xam

 (10)

tenglamaning ikki tomonini ungdan C matrisaga kupaytiramiz.

\C o’zgarmas matrisa bo’lgani uchun

ya’ni Y₁C (9) tenglamani yechimi buladi.

Xulosa

Bu kurs ishida O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini matritsalar usulida yechish haqida keltirib o’tilgan. Bunday sistemaning sodda ko’rinishi

dan iborat, bunda   o’zgarmas sonlar.  esa ko’rilayotgan oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyadir.

Ma’lumki, bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topish uchun, unga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishga to’g’ri keladi.

Tenglamalar sistemasini bu usulda yechish turli misollar yordamida tushuntirilgan.

F o y d a l a n i l g a n a d a b i y o t l a r:
С. А. Агафонов, А. Д. Герман, Т. В. Муратова. “Дифференциальные уравнения.” Учебник для вузов -М. Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999.-336с (Серия Математика в техническом университете ;Вып. VIII),Глава 5 параграф 2.

www.fayllar.org.uz

www.ziyonet.uz

www.aim.uz