Chinlik jadvaliva Bul algebrasi
Ikkita x va yo’zgaruvchilarning elementar mantiqiy funktsiyalarini ko’raylik. 4.2-jadval.
Funktsiya
|
x, y argumentli
funktsiya qiymati
|
Funktsiya belgisi
|
Funktsiya nomi
|
00
|
01
|
10
|
11
|
f0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
doimo yolg’on
|
f1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
xy
|
konyunktsiya
|
f2
|
0
|
0
|
1
|
0
|
|
y bo’yicha tahqiq
|
f3
|
0
|
0
|
1
|
1
|
x
|
x doimohaqiqiy
|
f4
|
0
|
1
|
0
|
0
|
y
|
x bo’yicha tahqiq
|
f5
|
0
|
1
|
0
|
1
|
y
|
y doimo haqiqiy
|
f6
|
0
|
1
|
1
|
0
|
xy
|
x va y ni 2 ning moduli
bo’yicha qo’shish
|
f7
|
0
|
1
|
1
|
1
|
xy
|
dizyunktsiya
|
f8
|
1
|
0
|
0
|
0
|
xy
|
Pirs strelkasi
|
f9
|
1
|
0
|
0
|
1
|
xy
|
teng qiymatlilik
|
f10
|
1
|
0
|
1
|
0
|
|
y doimo yolg’on
|
f11
|
1
|
0
|
1
|
1
|
xy
|
implikatsiya
|
f12
|
1
|
1
|
0
|
0
|
|
x doimo yolg’on
|
f13
|
1
|
1
|
0
|
1
|
yy
|
implikatsiya
|
f14
|
1
|
1
|
1
|
0
|
x/y
|
SHeffer shtrixi
|
f15
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
doimo haqiqiy
|
4.2-jadvaldagi funktsiyalardan bir qismi trivial hisoblanadi. Masalan, f0=0, f15=1 va f3=x, f5=y. Ularning ichida ikkitasi elementar funktsiyalardir - f10=y, f12=x. f2 va f4 funktsiyalari esa mos holda y va x bo’yicha tahqiqi funktsiyalari hisoblanadi.
Qolganlarini qisqacha tavsiflaylik:
- x va y mantiqiy o’zgaruvchilarning dizyunktsiyasi. Qisqacha x va y ning dizyunktsiyasi. xy kabi belgilanadi. «x yoki y» deb o’qiladi. Tahrifi: x va y mantiqiy o’zgaruvchilarning dizyunktsiyasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x va y yolg’on bo’lgandagina yolg’on hisoblanadi. (4.3-jadval)
- x va y mantiqiy o’zgaruvchilarning konyunktsiyasi. xy kabi belgilanadi. «xVA y» deb o’qiladi. Tahrifi: x va y ning konyunktsiyasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x va yhaqiqiy bo’lgandagina haqiqiy hisoblanadi. (4.4-jadval)
4.3-jadval
|
|
4.4-jadval
|
00=0
01=1
10=1
11=1
|
|
00=0
01=0
10=0
11=1
|
- x va y mantiqiy o’zgaruvchilarning teng qiymatliligi. xy kabi belgilanadi. «x y ga teng qiymatlik» deb o’qiladi. Tahrifi: x va y ning teng qiymatliligi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x va yhaqiqiyliklari mos kelgandagina haqiqiy hisoblanadi (4.5-javdal).
-x va y ni 2 ning moduli bo’yicha qo’shish. xu kabi belgilanadi. «x ni y ga 2 ning moduli bo’yicha qo’shish» deb o’qiladi. Tahrifi: x va y ni 2 ning moduli bo’yicha qo’shish murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x va y ning haqiqiyliklari mos kelmaganda haqiqiy hisoblanadi (6-jadval). Bahzi adabiyotlarda bu funktsiyani teng qiymatlilikning inkori deb VA atashadi.
4.5-jadval
|
|
4.6-jadval
|
00=1
01=0
10=0
11=1
|
|
00=0
01=1
10=1
11=0
|
- x va y ning implikatsiyasi. xy kabi belgilanadi. «Agar x, unda y» deb o’qiladi. Tahrifi: x va y ning implikatsiyasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x haqiqiy, y yolg’on bo’lgandagina yolg’on hisoblanadi (4.7-jadval). Tahkidlash lozimki, implikatsiya sabab va oqibat orasidagi bog’lanish mahnosiga ega emas, yahni x ning haqiqiyligidan y ning haqiqiylik sharti kelib chiqmaydi. Aksincha, implikatsiya yordamida tuzilgan murakkab fikrning haqiqiyligi uchun x ning yolg’onligi kifoya.f13 funktsiya yx ga mos keladi.
- x va y ning SHeffer shtrixi. x/y kabi belgilanadi. «x shtrix y» deb o’qiladi. Tahrifi: x va y ning SHeffer shtrixi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x va y haqiqiy bo’lgandagina yolg’on hisoblanadi (4.8-jadval).
- x va y ning Pirs strelkasi. xy kabi belgilanadi. «x Pirs strelkasi y» deb o’qiladi. Tahrifi: x va y ning Pirs strelkasi murakkab funktsiya bo’lib, u faqat x va y yolg’on bo’lgandagina haqiqiy hisoblanadi (4.9-jadval).
4.7-jadval
|
|
4.8-jadval
|
|
4.9-jadval
|
00=1
01=1
10=0
11=1
|
|
00=1
01=1
10=1
11=0
|
|
00=1
01=0
10=0
11=0
|
4.10-jadvalda uchta o’zgaruvchili mantiqiy funktsiya uchun haqiqatlik jadvali keltirilgan.
4.10-jadval
|
To’plam tartib raqami
|
x1, x2, x3
to’plamlari
|
f funktsiya qiymati
|
0
1
2
3
4
5
6
7
|
000
001
010
011
100
101
110
111
|
0
0
0
1
0
1
1
1
|
Bul algebrasining formulalari
1) =x
2) xy=yx
3) (xy)z=x(yz)
4) x y= y x
5) (x y z=x (y z)
6) x(y z)=xy xz
7) x yz=(x y)(x z)
8) =
9) =
10) x x=x
11)xx=x
12) 1x=x
13) 0 x=x
Bulardano`rnigaqo`yishprintsipi: agarx = ubo`lsa, uholdaxmavjudbo`lganharqandayformulada, xo`rnigauniqo`yishmumkinvabundaekvivalentformulaolinadi.
Hisoblash sistemalarining asosiy texnik bazasi bo`lganhisoblash mashinalari arifmetik amallar bilan bir qatorda, mantiqiy amallarni VAbajarish xususiyatiga ega.
Bizga ma’lumki, mantiq - bu fikrlash shakllari va qonunlari haqidagi fandir. Mantiqmatematika esa mantiqiy masalalarni yechish uchun rasmiy usullarni tanlash imkonini o`rganish bilan shug`ullanadi. Elektron hisoblash mashinalarida va umuman raqamli elektron texnikasida asosan mantiqiymatematikaning boshlang`ich bo`limi - fikrlarni (bildirilgan yoki bayon etilgan) hisoblash, ya’ni mantiqiy algebra qo`llaniladi. Ba’zi adabiyotlarda mantiqiy algebrani XIX asrda fikrlarni hisoblash asoslarini yaratgan ingliz olimi Djordj Bul nomi bilan bog`laydilar, ya’ni Bul algebrasi deb VAatashadi. Hozirgivaqtda mantiqiy algebra EHMning har xil uzellarini analiz qilishda va sintezlashda VAda mantiqiy masalalarni mashina yordamida yechishda keng qo`llaniladi.
Har qanday mantiqiy funktsiya (haqiqatlik) chinlik jadvali orqali berilganda argumentqiymatlarining har bir to`plamiga mos ravishda funktsiyaning qiymati 0 va 1 yokid ko`rinishida beriladi (d belgisi funktsiyaning noaniq qiymatini bildiradi, uning o`rniga ba'zi holatda 0 yoki 1 ko`rsatish mumkin).Funktsiyaga noaniq (d) qiymatni beradigan to`plamga ma'nosiz to`plam deyiladi.Argumentlarning barcha to`plamlarida faqat 0 va 1 qiymatlari bilan aniqlangan funktsiyani to`liq aniqlangan, aks holda qisman aniqlangan deyiladi.
Bildirilgan fikrlar tushunchasi mantiqiy algebraning dastlabki (boshlang`ich) tushunchasi bo`libxizmat qiladi. Bildirilgan fikr sifatida to`g`ri (haqiqiy) yoki noto`g`riligi nuqtai-nazaridan bildirilgan har qandaytasdiq tushuniladi. Fikrningboshqa sifat belgilari (yaxshi, yomon, nodir, adabiy, siyosiy va h.) e'tiborga olinmaydi. Fikr faqat haqiqiy (to`g`ri) yoki noto`g`ri bo`lishi mumkin. Fikrning bo`lishi mumkin bo`lganholatlari sifatida to`g`ri yoki noto`g`riligini aytish mumkin. Fikrlarning shu ikkilik tabiatiga mosligini e'tiborga olib, ularni mantiqiy o`zgaruvchilar deb atashga kelishilgan va lotin alifbosining harflari bilan belgilash qabulqilingan. Bunda fikrning to`g`ri holiga 1 qiymati va noto`g`ri holiga 0 qiymati beriladi. Fikrlar sodda va murakkab bo`lishi mumkin. Sodda fikr deb, haqiqiylik qiymati boshqa qandaydir fikrning haqiqiylik qiymatiga bog`liqbo`lmagan fikrga aytiladi. Misol sifatida quyidagi ikki fikrni keltirishimiz mumkin:
x = «O`zbekistonRespublikasi Osiyo qit'asida joylashgan»;
y = «Optika matematika fanining bir qismi».
Birinchi fikr haqiqiy, ikkinchisi noto`g`ri, ya'ni haqiqatga to`g`ri kelmaydi. Shuning uchun ularni quyidagicha yozish o`rinli bo`ladi: x=1, y=0.
Murakkabfikrdeb, haqiqiylikqiymati boshqa fikrlarning haqiqiylik qiymatiga bog`liqbo`lganfikrga aytiladi.Shuning uchun har qandaymurakkab fikrni o`z tarkibiga kiruvchi sodda fikrlarning yoki ba'zi ikkilik argumentlarning mantiqiy funktsiyasi sifatida qarash mumkin. O`z navbatida murakkab fikrlar VAjuda (o`ta) murakkab fikrlarning argumentlari bo`libxizmat qilishi mumkin. Umuman, mantiqiy funktsiya quyidagicha ta'riflanadi:
f(x1, x2,..., xn) mantiqiy funktsiya deyiladi, agar u VAo`z argumentlari singari faqat ikki qiymatni qabulqilishi mumkin bo`lsa, bu qiymatlar sifatida yuqorida ko`rsatib o`tilganidek 0 va 1 simvollari qo`llaniladi. Mantiqiy funktsiyalarning argumentlari faqat ikki qiymatni qabulqilishi mumkinligi tufayli har qandaymantiqiy funktsiyaning aniqlanish sohasi cheklangan.Shuning uchun har qandaymantiqiy funktsiya argumentlarining qiymatlariga bog`liqbo`lgano`zining qiymatlari jadvali yordamida berilishi mumkin.
Misol. Uchta argumentga bog`liqbo`lganf(x1, x2,x3) va j(x1, x2,x3) mantiqiy funktsiyalar qiymatlari 1-jadvalda berilgan. Argumentlarning qiymatlari majmuasiga to`plam deyiladi va a1, a2,..., ai,..., an bilan belgilanadi, bu yerda ai birga yoki nolga teng (i=1,2,...,n).
4.11-jadvalda berilgan funktsiyalar sakkizta to`plamlarda aniqlangan.f(x1,x2,x3) funktsiyasi (0,0,1) va (0,1,1) to`plamlarda birga, barcha boshqa to`plamlarda esa nolga teng;
4.11-jadval
x1
|
|
x2
|
x3
|
f (x1,x2,x3)
|
(x1,x2x3)
|
0
0
0
0
1
1
1
1
|
|
0
0
1
1
0
0
1
1
|
0
1
0
1
0
1
0
1
|
0
1
0
1
0
0
0
0
|
0
0
0
1
0
1
1
0
|
j(x1,x2,x3) funktsiyasi esa (0,1,1), (1,0,1) va (1,1,0) to`plamlarda birga, barcha boshqa to`plamlarda esa nolga teng.
mantiqiy funktsiyalarning ba'zi xususiyatlarini ko`rsatib o`tish joizdir.
1. Har qandayn argumentli mantiqiy funktsiya 2n ta to`plamlarda aniqlanadi.
Haqiqatdan VAargumentlarning har bir to`plamiga (naboriga) n-xonali ikkilik raqamni ko`rsatish mumkin.n-xonali ikkilik raqamlarning soni esa 2n ga teng.
Mantiq algebrasiga faqatgina ikkita qiymatni0 va 1 qabulqiladigan o`zgaruvchilar kuritiladi.
O`zgaruvchilarx ,y,z … bilan belgilanadi. Mantiq algebrasida ekvivalentlik
nisbativa uchta amal - diz'yunktsiya (yoki amali) (V) kon'yunktsiya ( Λ) ( va amali), inkor (emas) ( ). Ekvivalentlik nisbati quyidagi xususiyatlarni qondiradi. x = x-reflektivlik;
agar x = u bo`lsa, u holdau = x - simmetriyalik; agar x = u va u = z bo`lsa, u holdax = ztranzitivlik.
Bulardan o`rniga qo`yishprintsipi: agarx = u bo`lsa, u holdax mavjud bo`lganhar qandayformulada, xo`rniga uni qo`yish mumkin va bunda ekvivalent formula olinadi.
Mantiq algebrasi quyidagi teoremalari:
Do'stlaringiz bilan baham: |