Guruh 101 Talabaning F. I. Sh Ortiqova Shodiya

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS
TA’LIM VAZIRLIGI
NIZOMIY NOMIDAGI TOSHKENT DAVLAT PEDAGOGIKA UNIVERSITETI
TABIIY FANLAR FAKULTETI

“KIMYO VA UNI O‘QITISH METODIKASI” KAFEDRASI

MUSTAQIL ISH
Ta’lim yo’nalishi: Kimyo
Guruh_101
Talabaning F.I.Sh_Ortiqova Shodiya
Fan nomi : Oliy matematika
Mavzu: Funksiya xosilasi. Differensialashqoidalari.Funksiyamonotonligi va ekstremumlari


Fan o'qituvchisi:Rajabov .U.T

Funksiya xosilasi. Differensialashqoidalari.Funksiyamonotonligi va ekstremumlari

Reja:

1. 
   Hosila va differensialni hisoblash qoidalari Yuqori tartibli hosila va differensiallar
   
2. 
   Differensiallanuvchi funksiya uchun o`rta qiymat haqida teoremalar. Teylor formulasi. Lopital qoidasi
   

Yuqori tartibli hosila va differensiallar

1. Differensiallanuvchi funksiyalar haqida teoremalar. Elemen-tar funksiyalar hosilalari jadvali
Limitlar haqida teoremalar kabi, differensiallanuvchi funksiyalar haqida ham teoremalar mavjud.
u(x) va v(x) funksiyalar x nuqtada differensiallanuvchi bo`lib, k biror-bir o`zgarmas son bo`lsa, u holda x nuqtada
a) u(x) + v(x); b) k u(x); c) u(x) · v(x); d)
funksiyalar ham differensiallanuvchi bo`ladi va quyidagilar o`rinli :
1) [u(x) + v(x)]  = u(x) + v(x); d[u(x) + v(x)] = du(x) + dv(x).
2) [k u(x)]  = k u(x); d[k u(x)] = k du(x).
3) [u(x) · v(x)] = u(x) · v(x) + u(x) · v(x);
d[u(x) · v(x)] = u(x) · dv(x) + v(x) · du(x).

4) ;

, ( v(x) ≠0).

Funksiya hosilasini hisoblashda differensiallash qoidalaridan tash-qari, elementar funksiyalar hosilalari jadvalidan ham foydalaniladi.

f (x)	f(x)		f (x)	f(x)
C (o`zgarmas)	0		sin x	cos x
x^p	x^p-1		cos x	-sin x
			tg x
a^x	a^xlna		ctg x
f (x)	f(x)		f (x)	f(x)
e^x	e^x		arcsin x
loga |x|			arccos x
			arctg x
ln |x|			arcctg x

Misollar. Differensiallash qoidalari va hosilalar jadvalidan foydala-nib, quyidagi funksiyalar hosilalarini hisoblang:

1. . 2. .
1.
.
2.

2. Murakkab funksiya hosilasi va differensiali
y = f (u) va u = g(x) funksiyalarning superpozitsiyasidan iborat y = f [g(x)] murakkab funksiya berilgan bo`lsin.
Agar u = g(x) funksiya x<sub>0</sub> nuqtada differensiallanuvchi, o`z navbati-da y = f (u) funksiya u₀ = g(x₀) nuqtada differensiallanuvchi bo`lsa, u holda y = f [g(x)] murakkab funksiya ham x<sub>0</sub> nuqtada differensiallanuv-chi bo`ladi va yoki y(x₀) = f (u₀) · g(x₀).
Murakkab funksiyaning erkli o`zgaruvchi bo`yicha hosilasi, shu funksiyani tashkil etgan (superpozitsiyalanuvchi) funksiya hosilalarining ko`paytmasiga teng.
Murakkab funksiya differensiali uchun dy = y(x<sub>0</sub>) · dx = f (u<sub>0</sub>) · du tengliklar o`rinli, bu yerda du = g(x₀) · dx. Murakkab funksiya birinchi tartibli differensialini hisoblash uchun uning biror o`zgaruvchi bo`yicha hosilasini shu o`zgaruvchining differensialiga ko`paytirish yetarli. Bun-da differensialni hisoblash shakli o`zgarishsiz qolib, o`zgaruvchilarning tanlanilishiga yoki ularning erkli yoki erksizligiga bog`liq emas.Ushbu xossa birinchi tartibli differensial shaklining invariantlik xossasi deyiladi.
Misol.
1.  funksiyaning birinchi tartibli hosilasi va differensialini hisoblaymiz:


2. y = x^sin x (x > 0) funksiya hosilasini hisoblash uchun, dastlab tenglikning ikkala tomonini logarifmlaymiz va so`ngra hosila olamiz:
(lny) = (sin x · lnx) <=> .
Natijada, .