Grin formulasi yordamida egri chiziqli integrallarni hisoblash

Aim.Uz

Grin formulasi

Reja:

• 
  I. To’g’ri soha tushunchasi.
  
• 
  Grin formulasi
  
• 
  Grin formulasi yordamida egri chiziqli integrallarni hisoblash
  

Tayanch iboralar: Grin formulasi, Egri chiziqli integral, to’g’ri soha tushunchasi, Egri chiziqli integralni integrallar yo’liga bog’liq emasligi

I. To’g’ri soha tushunchasi.

Ta’rif: Agar Oxy tekislikdagi G₁ tekis sohani Ox o’qiga parallel to’g’ri chiziq 2 tadan ortiq nuqtada kesmasa, bunday sohaga Ox o’qi yo’nalishi bo’yicha to’g’ri soha deyiladi.

12-chizma 13-chizma

Xuddi shunga o’xshas h Ox o’qga nisbatan ham soha tushunchasi kiritiladi.

Agar soha ham Ox va ham Oy o’qlar yo’nalishi bilan to’g’ri soha bo’lsa, bunday soha oddiy qilib, to’g’ri soha deyiladi.

Agar berilgan G to’g’ri soha bo’lmasa, uni Oy yoki Ox o’qlar yo’nalishi bir nechta to’g’ri sohalarga ajratish mumkin.


14-chizma

15-chizma 16-chizma

1. 
   Grin formulasi
   

Teorema: Agar P(x,y) va Q(x,y) funktsiyalar va ularning xususiy hosilalari va lar biror G to’g’ri sohada uzluksiz bo’lsa, u holda

(8)

tenglik o’rinli bo’ladi; L-chiziq G sohaning chegarasi bo’lib, unda integrallash yo’nalishi soat strelkasiga teskari yo’nalishda olingan (musbat yo’nalish).

(8) formula Grin formulasi bo’lib, u egri chiziqli integral bilan ikki karrali integral orasidagi bog’liqlikni ifodalaydi.

Grin formulasida avvalo Q=x, P=0, keyin esa Q=0 P=-y deb olamiz. Agar G soha yuzini S bilan belgilasak, hamda ekanini e’tiborga olsak

(2) formulalarni hosil qilamiz. va lar ixtiyoriy sonlar bo’lib bo’lsin. (2) dagi I-tenglikni ga 2 sini ga ko’paytirib qo’shsak

(3)

formulani hosil qilamiz.

bo’lsa (3) formula

ko’rinishga ega bo’ladi.

3. Egri chiziqli integralni integrallash yo’liga

bog’liq bo’lmaslik sharti
Q

1. ni qaraylik D

P

X(x,y) va Y(x,y) funktsiyalar. D sohada uzluksiz hosilalarga ega.

Qanday shartlarda (1) integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasdan M va N nuqtalar holatiga bog’liq bo’lishini ko’rib chiqaylik. M va N nuqtalarni tutashtiruvchi 2 ta MPN va MQN chiziqlarni qaraylik.

Faraz qilaylik yoki

bo’lsin.

U holda egri chiziqli integralning 1- va 2-xossalariga ko’ra

yoki bo’ladi.

Xulosa: Demak, “Egri chiziqli integral qiymati M va N nuqtalarni tutashtiruvchi chiziq shakliga bog’liq emas, balki bu nuqtalar holstiga bog’liq bo’lar ekan”-degan xulosadan yopiq kontur bo’yicha olingan egri chiziqli integralning qiymati =0 ekanligi ekan.

Bu xulosaning teskarisi ham o’rinli. Quyidagi tabiiy savol tug’iladi o’rinli bo’lishi uchun X(x,y) va Y(x,y) funktsiyalar qanday shartni qanoatlantirishi kerak. Bu savolga quyidagi teorema javob beradi.

Teorema. Faraza qilaylik D sohaning barcha nuqtalarida X(x,y) va Y(x,y) funktsiyalar o’zlarining xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsin.

bo’lishi D sohaning barcha nuqtalarida shartning bajarilishi zarur va yetarlidir.
4. Grin formulasi yordamida egri chiziqli

integrallarni hisoblash
1-misol:

integralni x²+y²=ax aylananing yuqori yarim tekislikda yotuvchi bo’lagi bo’yicha hisoblang

va deb belgilab, integrallash chizig’ini OA to’g’ri chiziq kesmasi bilan to’ldirib yopiq kontur hosil qilamiz. U holda

bo’ladi

17-chizma bo’lgani uchun Grin formulasiga ko’ra

bo’ladi

Bu yerda G soha a/2 –radiusli doiraning yuqori yarim bo’lgani uchun

OA kesmada P=0 chunki y=0 va dy=0 bo’lgani uchun

bo’ladi

Demak .

2-misol: astroida bilan chegaralangan figura yuzini hisoblang.

Astroida grafigi I bo’lim 2-misolida yasalgan. Bu yuzni (3) formulaga asosan hisoblaymiz.