Gomomorf gruppalar haqida

GOMOMORF GRUPPALAR HAQIDA.
Termiz muhandislik texnologiya instituti “Aniq va tabiiy fanlar” matematika fani o’qituvchisi Islomova Nihola
Bizga ma’lumki agar 2 ta gruppa G va G* berilgan bo’lib. _{ } akslantirish o’zi bir qiymatli v gruppadagi amalni saqalasa φ-ga izomorf akslantirish yoki izomorfi deyilar edi. Bu holda G va G* gruppalrni izomorf (xossalari bir xil) gruppa;ar deb ataladi. Agarda yuqoridagi ta’rifda birinchi shart o’zoro bir qiymatli bo’lishlik shartdan voz kechsak φ ga gomomorf akslantirish yoki gomomorfizm (xossalari o’xshash), G va G* larga esa gomomorf gruppa;ar deyiladi.
1-misol. _{ } har bior butun a ga uning n moddiy bo’yicha chegarasini mos qo’yuvchi _{ } akslantirish gomorf akslantirsh bo’ladi.
p-tub son, _{ } esa birdan chiqarilgan _{ } darajali ildiz bo’lsin va _{ } bo’lsin. U hol har bir p-lik kasr _{ } ga _{ } -kompleks sonini mos qo’yuvchi _{ } akslantirish ham gomomorf akslantirish bo’ladi.
2-misol. Har bir n-tartibli matritsaga uning determenantini mos qo’yuvchi _{ } ; Har bir uchburchak matritsaga uning diyaganalini mos quyuvchi _{ }; Har bir x matritsaga _{ } satrni mos qo’yuvchi
Bu yerda _{ } bosh diyaganalda birlar undan pastga nollar, bosh dioganaldan yuqorida m-1 ta dioganalda ham faqat nollar, ya’ni

ko'rinishdagi matritsa _{ } akslantirish X matrisaga uning bosh diyaganilidan yuqoridagi uning bosh diyaganilidan yuqoridagi m+1-diyaganildagi elementlar satri (x_1,m+1, x_2,m+2,..., x_n-m, _n) ni mos qo'yadi.
Agar biz misollarga diqqqat bilan qarasak gomomorf akslantirishda algebraik amallar ba'zi xossalari yo'qolishi mumkin ekan. Kommutativ bo'lmagan gruppa kommutativ vo'lishi o'zgarmassiz guruppa uyurmali ya'ni davriy bo'lishi mumkin va boshqalar. shuning bilan birgalikda juda muhim xossalar cheklilik, kummutativlik va shunga o'xshash xossalar saqlanib qoladi.
Osonlik bilan ko'rish mumkin (normal) qism gruppaning gomomorf obrazi (normal ) qism gruppa bo'ladi. Shuningdek gruppadagi gomomorfizimni uning biror qism gruppasigacha toraytirsak qism gruppaning gomorfizimi bo'ladi.
Ma'lumki _{ } gomomorfizmda G^* ning birlik elementiga o'tuvchi G ning elementlari to'plamiga _{ } ning yadrosi deyiladi ker_{ } ko'rinishda belgilanadi. Gomomorfizim yadrosi normal qism gruppa bo'ladi. Haqiqatan ham ker_{ } bo'lsin. _{ } bo'lganligidan_{ } Bundan esa ta'rifga ko'ra H≤G ekanligi kelib chiqadi.
Osonlik bilan ilg'ab olish mumkinki, gomomorfizmni yadrosi trivial (ya'ni ker_{ }) bo'lishi uchun φ izimorfizm bo'lishi kerak[1]. Umumiy holda gomomoprfizm yadrosi uning xossalarini yo'qotishi bilan o'lchanadi deyish mumkin. Yadro qancha katta bo'lsa gomorfizm natijasida shuncha ko'p detallar yo'qotiladi. Eng ko'p yo'qotish G ni G* faqat birlik lementiga o'tkazuvhci gomomorfizimbo'ladi. Shuni ta'kitlashimiz kerakki gruppaning yadrosigina uning normal bo'kuvchisi bo'lar ekan, ya'niy gruppaning har bir normal bo'luvchisi biror gomorfizmning yadrosi bo'ladi.Endi [2] berilgan yadroga ega bo'lgan gomorfizm ko'rishning standart usuli bilan tanishib chiqamiz. Faraz etaylik G-gruppa, H-uning normal qism gruppasi bo'lsin. G ni H bo'yicha sinflarga ajratib G/H ni hosil qilamiz. Tushunarliki aH·bH=abH, ya'ni G/H to'plam ko'paytirishga nisbatan yopiq. Biz algebra va sonlar nazaryasi kursida ko'rgan edikki G/H gruppa bo'ladi va G ning H normal qism gruppasi bo'yicha faktor-gruppasi deyilar edi. G/H da birlik element H ning o'zi, aH sinfga teskarisi a^-1H sinfdir. _{ } akslantirish _{ } elementni gH sinfga o'tkazadi, ya'ni _{ } va φ gomorfizm akslantirish bo'ladi. Bundan gomorfizmga ta'biiy gomorfizm deyiladi. Shu ta'biiy gomorfizmning yadrosi, H ga dan iborat. Endi gomorfizm haqidaL(G,H) bilan G ning H qism gruppa tegishli bo'lgan barchaqism gruppaning to'plamini belgilab olamiz. Xususiy holda L(G,1) bilan G ning barcha qism gruppalari to'plamini belgilaymiz. Quydagi teorema o'rinli:
Teorema: Agar φ:G→G/H ta'biiy gomorfizm berilgan bo'lsa, u holda L(G,H) ning qism gruppa;ari ularning φ dagi obrazlarini mos qo'yuvchi φ:L(G,H)→L(G/H,1) o'zoro bir qiymatli akslantirish mavjud. A,B-qism gruppalarining G ning G ga L(G,H) dan olingan o'zoro qo'shma bo'lishi uchun ularning obrazlari A^φ, B^φ larning G/H da o'zoro qo'shma bo'lishi zarur va yetarlidir. Xususan A ning G da normal bo'lishi uchun A^φ ning G/H da normal bo'lishi zarur va yetarli. Agar _{ }bo'lsa , u holda _{ }bo'ladi.
Adabiyotlar.
1.Vander-der-Varden. Algebra ,-M., “Nauka” ; 1976, 648 s.
2.Faddeyv D.K. Leksii po algebra.-M., “Nauka” ; 1984, 416 s.