Гл. 12. Метод ортонормированных рядов

\|), = sin-

и т. д.

(12.18)

Процедура перечисления состоит в следующем: образуются группы из тех функций (12.17), для которых m + ti — i, где i принимает
последовательно значения 2, 3 В каждой из этих групп
функции упорядочены в соответствии с убыванием значений пер­вого индекса т, который принимает в каждой группе последова­тельно значения i — 1, i—2, ..., 1. Этим способом получается
система функций (л:, у), s = 1, 2,
Как известно,

(
ь

и, аналогично^

если пфк,, если п = k.
12.20)

Поэтому выполняется

( sin — sin , sir \ а Ь

Ь

Сл Г • кщ . пли ,
J _{а a}'^dx') ^sln “Г sin -fdxj =

kny . nny

sin -— sin а

а b

а

о

о о

о

(^Si

i ab ,

1. 
   е
   (12.21)
   сли одновременно т = ] и n — k
   

(О в противном случае.

д
Функции конечно, принадлежат D-д, так что Поскольку
² ( . jnx . kny\ j²n² . jnx . knu -Г5 Sin ^!—Sin -г^ ='—_r Sin ^!—Sin —, dx² \ a b j a² a b ’
d² / . jnx . knu\ k²n² . jnx . knu -д-s Sin '—Sin ~ = ~To“ sin -—sin -г¹, dy² \ a b J b² a b ’

мы имеем

jnx knu . mnx . nnu \
Sin -—Sin -7-2-, Sin Sin =*
a b ’ a b )-д
a b
Г f* / j²n² . k²n²\ . jnx . knx . mnx . nnu , ,
= 33 1^+ —)^sm—^sin—^sln 1T^sm -j-dxdy^
и 0
/ cib //²я² \
₌ | Т\~Ж ⁺ ~ь²~) ’ ^{если m==}> ^{и n = k} одновременно, ^ щ ( 0 в противном случае.
Следовательно, функции (12.18) ортогональны в Я__д, поскольку для любой пары различных функций из этой системы различны либо / и т, либо п и k. Следовательно, согласно (12. 22), функции
1 пх . пи ф, = V = Sin Sin -p.,

• 
  4 \а²⁺ь²)
  

1 . 2пх . пи
ф, = — - - =- sin Sin —г—,
Л/^^а-Ъ — \ ^а

• 
  4 \ а² Ь²)
  

1 пх . 2 пи
Sin -тг Sin -

1 Естественно, если система (12.4) имеет только конечное число элемен­тов, то (12.7) содержит только конечное число членов.