Gipergeometrik tenglama Maxmudov Baxodirjon Baxromjon o‘g‘li. Qo‘qon Davlat Pedagogika Institutiti “Matematika” kafedrasi o‘qituvchisi annotatsiya

Gipergeometrik tenglama
Maxmudov Baxodirjon Baxromjon o‘g‘li. Qo‘qon Davlat Pedagogika Institutiti “Matematika” kafedrasi o‘qituvchisi
ANNOTATSIYA
Men bu Maqolada, Gipergeometrik funksiyalar va ularning differensial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechishga doir ba’zi tadbiqlari keltirilgan.
АННОТАТЦИЯ
В этой статье я представляю некоторые гипергеометрические функции и некоторые их приложения для решения краевых задач для дифференциальных уравнений.


ANNOTATION
In this article, I present some hypergeometric functions and some of their applications for solving boundary value problems for differential equations.
Kalit so‘z: Gipergeometrik funksiya, gipergeometrik tenglama va tengsizlik.

Asosiy ta’riflar. Ushbu

(1.1.1)
kо‘rinishdagi tenglama gipergeometrik tenglama yoki Gauss tenglamasi deb ataladi. Bu yerda , , -uchta ixtiyoriy parametr bо‘lib, haqiqiy yoki kompleks qiymatlarni qabul qiladi. Bulardan ikkitasi: va tenglamada simmetrik ishtirok etadi.
(1.1.5) tenglamaning yechimini

darajali qator kо‘rinishida izlaymiz. Bundan

yoki
,
.
Bu hosilalarni qiymatini va ni (1.1.1) tenglamaga qо‘yamiz.
U holda

.
Noma’lum , ..., , .... о‘zgarmaslarni topish uchun aniqmas koeffitsiyentlar usulidan foydalanamiz, bunga asosan ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlarni nolga tenglash kerak. oldidagi umumiy koeffitsiyentlarni nolga tenglab, ushbu

tenglikni hosil qilamiz. Bundan

rekurrent formulaga ega bо‘lamiz.
Bu yerda va deb hisoblaymiz. (1.1.1) gipergeometrik tenglamaning birinchi xususiy yechimi ni orqali belgilab, koeffitsiyetlarning topilgpn qiymatlarini (1.1.2) qatorga qо‘yamiz. U holda
. (1.1.3)
Bu yerda
,
,
xususiy holda,
(1.1.3) qator gipergeometrik qator, bu qatorning yig‘indisi bо‘lgan funksiya esa gipergeometrik funksiya deyiladi.
Dalamber prinsipiga asosan,
.
Demak, (1.1.3) qator da absolyut yaqinlashuvchi, da esa uzoqlashuvchi bо‘ladi. bо‘lganda, agar bо‘lsa, (1.1.3) qator absolyut yaqinlashuvchi, agar bо‘lsa, uzoqlashuvchi, bо‘lganda esa, agar bо‘lsa, absolyut yaqinlashuvchi, agar bо‘lsa, absolyut bо‘lmay yaqinlashuvchi, agar bо‘lsa uzoqlashuvchi bо‘ladi.
Agar (1.1.3) formulada bо‘lsa,

ga asosan

binomial qator hosil bо‘ladi.
Agar , bо‘lsa, (1.1.3) formula ushbu

kо‘rinishga ega bо‘ladi, ya’ni , bо‘lgan holda gipergeometrik qator geometrik progressiyaga aylanadi, shuning uchun ham u gipergeometrik qator deb atalgan.
(1.1.3) tenglamaning ikkinchi xususiy, (1.1.3) ga chiziqli bog‘liq bо‘lmagan yechimini topish uchun (1.1.1) tenglamada

almashtirish bajaramiz. U holda (1.1.1) tenglama quyidagi kо‘rinishda yoziladi:


Bu tenglama (1.1.1) tenglama tipiga tegishli tenglama bо‘lishi uchun yoki bо‘lishi kerak. bо‘lgan holda


tenglamaga ega bо‘lamiz. bо‘lganda almashtirish (1.1.1) tenglamani yuqoridagi kо‘rinishdagi tenglamaga о‘tkazadi, faqat , , larni mos ravishda
, ,
larga almashtirish zarur. Demak, berilgan (1.1.1) tenglama ga chiziqli bog‘liq bо‘lmagan

yechimga ega bо‘ladi. Shu bilan birga,

bо‘lgandagina ma’noga ega bо‘ladi. Shunday qilib, (1.1.1) tenglamaning umumiy yechimini quyidagi kо‘rinishda yozish mumkin:
,
bu yerda va -ixtiyoriy о‘zgarmaslar.
Agar gipergeometrik funksiyaga simmetrik bо‘lib kirgan va parametrlardan bittasi manfiy butun son - ga teng bо‘lsa, (1.1.3) gipergeometrik qator uzilib qoladi va u -darajali kо‘phadga aylanadi.
Agar , , bunda , -butun sonlar bо‘lsa, u holda gipergeometrik qator kо‘phadga aylanib, uning darajasi , sonlarning kichigiga teng bо‘ladi. (1.1.3) qatorni hadlab differensiallash natijasida quyidagi

formulani hosil qilamiz.
(1.1.3) qatorni avval , yoki ga kо‘paytirib, sо‘ngra hadlab differensiallasak, quyidagi formulalar kelib chiqadi:
,
, (1.1.4)
.

Gipergeometrik funksiyaning integral ifodasi

(1.1.3) qatorni

tenglikni e’tiborga olib, ushbu



kо‘rinishda yozib olamiz.
Bundan (1.1.3) formulaga asosan

bо‘lganligi sababli, avvalgi tenglik

kо‘rinishda yoziladi yoki (1.1.3) ga asosan
.
Bu yerdagi integral ning barcha qiymatlarida yaqinlashuvchi bо‘lgani uchun
, yoki (1.1.5)
shartlarni bajarilishi zarurdir.
Avvalgi tenglikni ushbu


kо‘rinishda yozib olamiz. Integral ostidagi yig‘indi funksiyaning cheksiz qatorga yoyilmasidan iborat bо‘lgani uchun
(1.1.6)
formulaga ega bо‘lamiz. Bu esa gipergeometrik funksiyaning integral ifodasidir.
(1.1.5) shartlarni bitta

shart bilan almashtirish mumkin. Agar bо‘lsa, bо‘ladi va bu tengsizlikning (1.1.5) tengsizlikni ikkinchisi bilan qо‘shib, tengsizlikni hosil qilamiz; agar bо‘lsa, bu tengsizlikdan, (1.1.5) tengsizliklarning ikkinchisidan kuchliroq bо‘lgan tengsizlikka ega bо‘lamiz.
Gipergeometrik funksiyaning dagi qiymatini hisoblaymiz. (1.1.6) formuladagi integral , va bо‘lganda tekis yaqinlashuvchi bо‘lgani sababli da limitga о‘tamiz.



.
Demak,
.
Agar (2.1.6) formuladagi integralda
yoki
almashtirish bajarsak, integral quyidagi kо‘rinishda yoziladi:


.
Demak,
.
Bu tenglik avtotransformatsiya formulasi deyiladi [2, b 65].

(1.1.6) integralda о‘zgaruvchini formula bilan almashtirib

tenglikni hosil qilamiz. Bundan (1.1.6) ni e’tiborga olsak,

formula hosil bо‘ladi.

Foydalanlgan adabiyotlar

1. 
   M.Salohiddinov. Matematik fizika tenglamalari. Toshkent, “O’zbekiston”, 2002.
   
2. 
   T.Azlarov, H.Mansurov. Matematik analiz asoslari. Bakalavrlar uchun darslik. 3-nashr. Toshkent, 2007.
   
3. 
   Samoylekko A. M, Krivsheya S. A, Perestyuk N. A. Differensialniye uravneniya: primeri i zadachi. Moskve, Visshaya shkola 1989 g.
   
4. 
   Kamke E. Spravochnik po obiknovennim differensialnim uravneniyam. Moskva,yu Nauka, 1976 g.
   
5. 
   Beytmen G., Erdeyi A., Visshiye transsendentniye funksii. 1-tom, Moskva, Nauka, 1973 g.
   
6. 
   Urinov A.K., Maxsus funksiyalar ukuv kullanma. Fargona 2005 y.
   

Vladimirov V.S. Uravneniya matematicheskoy fiziki. Moskva, Nauka, 1981 g.