Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

1.10. Parametr ning qanday qiymatlarida
(1.15)
operatorga 1.6-teoremani qo‘llash mumkin?
Yechish. operatorni ko‘rinishda yozib olamiz. operator sifatida (1.7-misolga qarang)
,
ni, operator sifatida esa

ni olamiz. 1.7-misolda operatorning teskarisi mavjud va ekanligi ko‘rsatilgan edi. 1.6-teoremani (1.15) tenglik bilan aniqlangan operatorga qo‘llashimiz uchun
(1.16)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladigan ning barcha qiymatlarini topishimiz kerak. Shu maqsadda operatorning normasini topamiz. Buning uchun norma kvadratini baholaymiz:
. (14.17)
Biz bu yerda Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan hamda

tenglikdan foydalandik. (1.17) dan
(1.18)
tengsizlik kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan desak, u holda
va
bo‘ladi. Ma’lumki,
. (1.19)
(1.18) va (1.19) lardan tenglikka ega bo‘lamiz. Bu yerdan barcha lar uchun (14.16) ning, ya’ni tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. 1.6-teoremaga ko‘ra, barcha larda operatorga teskari operator mavjud va chegaralangan. 1.8-misoldagidek, ekanligidan operatorga chegaralangan teskari operator mavjud emas degan xulosa kelib chiqmaydi. ∆
1.11. Quyidagi operatorning teskarilanuvchan emasligini ko‘rsating
. (1.20)
Yechish. Ma’lumki, chiziqli operator teskarilanuvchan bo‘lishi uchun tenglama faqat yechimga ega bo‘lishi zarur va yetarli. (1.20) formula bilan berilgan operator uchun funksiyani olsak, bo‘lgani uchun
.
Demak, tenglama nolmas yechimga ega, 14.3-teoremaga ko‘ra, operator teskarilanuvchan emas. ∆