Geometriya kelib chiqish tarixi

Geometriyadan dars beradigan ayol. O'rta asr tarjimasi boshidagi rasm Evklid elementlari, (taxminan 1310).
Hind matematiklar ham geometriyada ko'plab muhim hissa qo'shdilar. The Satapata Braxmana (Miloddan avvalgi 3-asr) ga o'xshash marosim geometrik konstruktsiyalarining qoidalari mavjud Sulba sutralari.^[19] Ga binoan (Xayashi 2005 yil, p. 363), the Śulba Satras "Pifagor teoremasining dunyodagi eng qadimgi og'zaki ifodasini o'z ichiga oladi, garchi bu qadimgi bobilliklar uchun ma'lum bo'lgan bo'lsa ham. Ularda ro'yxatlar mavjud. Pifagor uch marta,^[20] bu alohida holatlar Diofant tenglamalari.^[21]In Baxshali qo'lyozmasi, bir nechta geometrik muammolar mavjud (shu jumladan, qattiq jismlarning hajmlari bilan bog'liq muammolar). Baxshali qo'lyozmasida "nolga nuqta qo'yilgan o'nli kasrlar tizimi ishlatiladi".^[22] Aryabhata"s Aryabhatiya (499) maydonlar va hajmlarni hisoblashni o'z ichiga oladi.Braxmagupta astronomik asarini yozgan Braxma Sphuṭa Siddhānta 628 yilda. 66-moddadan iborat 12-bob Sanskritcha oyatlar, ikki qismga bo'lingan: "asosiy operatsiyalar" (kub ildizlari, kasrlar, nisbati va nisbati va almashinuvni o'z ichiga olgan holda) va "amaliy matematikasi" (shu jumladan aralash, matematik qatorlar, tekisliklar, g'ishtlarni yig'ish, yog'ochni arralash va qoziq qilish don).^[23] Keyingi bo'limda u o'zining a-ning diagonallari bo'yicha o'zining mashhur teoremasini bayon qildi tsiklik to'rtburchak. Shuningdek, 12-bobga tsiklik to'rtburchak maydoni formulasi kiritilgan (umumlashtirish Heron formulasi), shuningdek to'liq tavsifi ratsional uchburchaklar (ya'ni ratsional tomonlari va ratsional maydonlari bo'lgan uchburchaklar).^[23]
In O'rta yosh, O'rta asr islomida matematika geometriyaning rivojlanishiga hissa qo'shdi, ayniqsa algebraik geometriya.^[24][25] Al-Mahani (853 y.) algebradagi muammolarga kubni ko'paytirish kabi geometrik muammolarni kamaytirish g'oyasini ilgari surgan.^[26] Tobit ibn Qurra (Thebit nomi bilan tanilgan Lotin) (836-901) ko'rib chiqildi arifmetik qo'llaniladigan operatsiyalar nisbatlar geometrik kattaliklar va rivojlanishiga hissa qo'shgan analitik geometriya.^[27] Omar Xayyom (1048–1131) ga geometrik echimlarni topdi kub tenglamalar.^[28] Teoremalari Ibn al-Xaysam (Alhazen), Omar Xayyom va Nosiriddin at-Tusiy kuni to'rtburchaklarshu jumladan Lambert to'rtburchagi va Sakcheri to'rtburchagi, dastlabki natijalar edi giperbolik geometriyakabi muqobil postulatlar bilan bir qatorda Playfair aksiomasi, bu asarlar keyingi Evropa geometrlari orasida Evklid bo'lmagan geometriyaning rivojlanishiga katta ta'sir ko'rsatdi, shu jumladan Vitelo (taxminan 1230 - taxminan 1314), Gersonides (1288–1344), Alfonso, Jon Uollisva Jovanni Girolamo Sakcheri.^{[shubhali – muhokama qilish][29]}
17-asrning boshlarida geometriyada ikkita muhim o'zgarishlar yuz berdi. Birinchisi analitik geometriyani yoki bilan geometriyani yaratish edi koordinatalar va tenglamalar, tomonidan Rene Dekart (1596–1650) va Per de Fermat (1601–1665).^[30] Bu rivojlanish uchun zarur kashshof edi hisob-kitob va aniq miqdoriy fan fizika.^[31] Ushbu davrning ikkinchi geometrik rivojlanishi bu sistematik o'rganish edi proektsion geometriya tomonidan Jirar Desarj (1591–1661).^[32] Projektiv geometriya shakllarning o'zgarmas xususiyatlarini o'rganadi proektsiyalar va bo'limlar, ayniqsa ular bilan bog'liq badiiy istiqbol.^[33]
19-asrda geometriyadagi ikkita o'zgarishlar ilgari o'rganish usulini o'zgartirdi.^[34] Bu kashfiyot edi evklid bo'lmagan geometriya Nikolay Ivanovich Lobachevskiy, Yanos Bolyay va Karl Fridrix Gauss tomonidan tuzilgan va simmetriya markaziy mulohaza sifatida Erlangen dasturi ning Feliks Klayn (Evklid va evklid bo'lmagan geometriyalarni umumlashtirgan). Vaqtning mohir geometrlaridan ikkitasi edi Bernxard Riman (1826-1866), asosan vositalar bilan ishlaydi matematik tahlilva bilan tanishtirish Riemann yuzasiva Anri Puankare, asoschisi algebraik topologiya va ning geometrik nazariyasi dinamik tizimlar. Geometriya kontseptsiyasidagi ushbu katta o'zgarishlar natijasida "kosmik" tushunchasi juda boy va xilma-xil bo'lib, nazariyalar uchun tabiiy zamin har xil bo'lib qoldi. kompleks tahlil va klassik mexanika.^[35]
Geometriyadagi muhim tushunchalar
Quyida geometriyadagi eng muhim tushunchalar keltirilgan.^[2][36][37]
Aksiomalar

Evklidning tasviri parallel postulat
Shuningdek qarang: Evklid geometriyasi va Aksioma
Evklid uning geometriyasiga mavhum yondoshdi Elementlar,^[38] hozirgacha yozilgan eng nufuzli kitoblardan biri.^[39] Evklid ma'lum narsalarni kiritdi aksiomalar, yoki postulatlar, nuqta, chiziq va tekisliklarning birlamchi yoki o'z-o'zidan ravshan xususiyatlarini ifodalovchi.^[40] U matematik fikrlash orqali boshqa xususiyatlarni qat'iyan aniqlab olishga kirishdi. Evklidning geometriyaga yondashuvining o'ziga xos xususiyati uning qat'iyligi edi va u shunday nomlandi aksiomatik yoki sintetik geometriya.^[41] 19-asrning boshlarida kashfiyot evklid bo'lmagan geometriya tomonidan Nikolay Ivanovich Lobachevskiy (1792–1856), Xanos Bolyay (1802–1860), Karl Fridrix Gauss (1777–1855) va boshqalar^[42] 20-asrda ushbu fanga bo'lgan qiziqishni qayta tiklashga olib keldi. Devid Xilbert (1862-1943) geometriyaning zamonaviy asosini yaratishga harakat qilib, aksiomatik fikr yuritdi.^[43]
Ballar
Asosiy maqola: Nuqta (geometriya)
Ballar Evklid geometriyasida asosiy ob'ektlar hisoblanadi. Ular turli yo'llar bilan aniqlangan, shu jumladan Evklidning ta'rifi "qism yo'q narsa"^[44] va algebra yoki ichki to'plamlardan foydalanish orqali.^[45] Geometriyaning analitik geometriya, differentsial geometriya va topologiya kabi ko'plab sohalarida barcha ob'ektlar nuqtalardan qurilgan deb hisoblanadi. Biroq, geometriyani nuqtalarga ishora qilmasdan ba'zi bir tadqiqotlar mavjud.^[46]
Chiziqlar
Asosiy maqola: Chiziq (geometriya)
Evklid chiziqni "kengliksiz uzunlik" deb ta'riflagan bo'lib, u "o'zida joylashgan nuqtalarga nisbatan teng ravishda yotadi".^[44] Zamonaviy matematikada geometriyaning ko'pligini hisobga olgan holda, chiziq tushunchasi geometriya tavsiflanishi bilan chambarchas bog'liqdir. Masalan, ichida analitik geometriya, tekislikdagi chiziq ko'pincha koordinatalari berilganni qanoatlantiradigan nuqtalar to'plami sifatida aniqlanadi chiziqli tenglama,^[47] kabi mavhumroq sharoitda, masalan tushish geometriyasi, chiziq uning ustida joylashgan nuqtalar to'plamidan ajralib turadigan mustaqil ob'ekt bo'lishi mumkin.^[48] Differentsial geometriyada a geodezik ga chiziq tushunchasini umumlashtirishdir egri bo'shliqlar.^[49]
Samolyotlar
Asosiy maqola: Samolyot (geometriya)
A samolyot bu cheksiz uzoqqa cho'zilgan tekis, ikki o'lchovli sirtdir.^[44] Geometriyaning har bir sohasida samolyotlardan foydalaniladi. Masalan, samolyotlarni a sifatida o'rganish mumkin topologik sirt masofa yoki burchakka ishora qilmasdan;^[50] sifatida o'rganilishi mumkin afin maydoni, bu erda kollinearlik va nisbatlarni o'rganish mumkin, ammo masofani emas;^[51] sifatida o'rganilishi mumkin murakkab tekislik usullaridan foydalangan holda kompleks tahlil;^[52] va hokazo.
Burchaklar
Asosiy maqola: Burchak
Evklid tekislikni belgilaydi burchak tekislikda, bir-biriga to'g'ri keladigan va bir-biriga nisbatan to'g'ri yotmaydigan ikki chiziqning moyilligi sifatida.^[44] Zamonaviy ma'noda, burchak - bu ikkitadan hosil bo'lgan raqam nurlar, deb nomlangan tomonlar deb nomlangan umumiy so'nggi nuqta bilan bo'lishadigan burchakning tepalik burchakning^[53]

O'tkir (a), yassi (b) va to'g'ri (c) burchaklar. Keskin va yassi burchaklar qiya burchaklar deb ham ataladi.
Yilda Evklid geometriyasi, o'rganish uchun burchaklardan foydalaniladi ko'pburchaklar va uchburchaklar, shuningdek, o'z-o'zidan o'rganish ob'ektini shakllantirish.^[44] Uchburchak yoki a dagi burchaklarni o'rganish birlik doirasi ning asosini tashkil etadi trigonometriya.^[54]
Yilda differentsial geometriya va hisob-kitob, orasidagi burchaklar tekislik egri chiziqlari yoki kosmik egri chiziqlar yoki yuzalar yordamida hisoblash mumkin lotin.^[55][56]

Chiziqlar

Asosiy maqola: Egri chiziq (geometriya)
A egri chiziq to'g'ri (chiziq kabi) bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan 1 o'lchovli ob'ekt; 2 o'lchovli kosmosdagi egri chiziqlar deyiladi tekislik egri chiziqlari va 3 o'lchovli fazoda bo'lganlar deyiladi kosmik egri chiziqlar.^[57]
Topologiyada egri chiziq haqiqiy sonlar oralig'idan boshqa bo'shliqqa o'tadigan funktsiya bilan belgilanadi.^[50] Differentsial geometriyada xuddi shu ta'rif ishlatiladi, ammo aniqlovchi funktsiya differentsial bo'lishi uchun talab qilinadi ^[58] Algebraik geometriyani o'rganish algebraik egri chiziqlarsifatida belgilanadigan algebraik navlar ning o'lchov bitta.^[59]
Yuzaki yuzalar
Asosiy maqola: Yuzaki (matematik)

Sfera - parametrli ravishda aniqlanadigan sirt x = r gunoh θ cos φ, y = r gunoh θ gunoh φ, z = r cos θ) yoki bilvosita (tomonidan x² + y² + z² − r² = 0.)
A sirt bu ikki o'lchovli ob'ekt, masalan, shar yoki paraboloid.^[60] Yilda differentsial geometriya^[58] va topologiya,^[50] yuzalar ikki o'lchovli "yamalar" bilan tavsiflanadi (yoki mahallalar) tomonidan yig'ilgan diffeomorfizmlar yoki gomeomorfizmlarnavbati bilan. Algebraik geometriyada sirtlar quyidagicha tavsiflanadi polinom tenglamalari.^[59]
Manifoldlar
Asosiy maqola: Manifold
A ko'p qirrali egri va sirt tushunchalarini umumlashtirishdir. Yilda topologiya, manifold a topologik makon bu erda har bir nuqta a Turar joy dahasi anavi gomeomorfik Evklidlar makoniga.^[50] Yilda differentsial geometriya, a farqlanadigan manifold har bir mahalla joylashgan joy diffeomorfik Evklidlar makoniga.^[58]
Manifoldlar fizikada keng qo'llaniladi, shu jumladan umumiy nisbiylik va torlar nazariyasi.^[61]
Uzunligi, maydoni va hajmi
Asosiy maqolalar: Uzunlik, Maydonva Tovush
Shuningdek qarang: Maydon § Formulalar ro'yxativa Jild § Jild formulalari
Uzunlik, maydonva hajmi ob'ektning hajmini yoki hajmini mos ravishda bir o'lchovda, ikki o'lchovda va uchta o'lchovda tasvirlang.^[62]
Yilda Evklid geometriyasi va analitik geometriya, chiziq segmentining uzunligini ko'pincha tomonidan hisoblash mumkin Pifagor teoremasi.^[63]
Maydon va hajmni uzunlikdan ajratilgan asosiy kattaliklar deb belgilash mumkin yoki ularni tekislik yoki 3 o'lchovli bo'shliqda uzunliklar bo'yicha tavsiflash va hisoblash mumkin.^[62] Matematiklar ko'plab aniq narsalarni topdilar maydon uchun formulalar va hajm uchun formulalar turli geometrik narsalarning. Yilda hisob-kitob, maydoni va hajmi jihatidan belgilanishi mumkin integrallarkabi Riemann integrali^[64] yoki Lebesg integrali.^[65]
Metrikalar va o'lchovlar
Asosiy maqolalar: Metrik (matematika) va O'lchov (matematika)

Vizual tekshirish Pifagor teoremasi uchun (3, 4, 5) uchburchak kabi Zhoubi Suanjing Miloddan avvalgi 500-200 yillar. Pifagor teoremasi - ning natijasidir Evklid metrikasi.
Uzunlik yoki masofa tushunchasi umumlashtirilishi mumkin, bu esa g'oyaga olib keladi ko'rsatkichlar.^[66] Masalan, Evklid metrikasi nuqtalar orasidagi masofani o'lchaydi Evklid samolyoti, esa giperbolik metrik masofani o'lchaydi giperbolik tekislik. Ko'rsatkichlarning boshqa muhim misollariga quyidagilar kiradi Lorents metrikasi ning maxsus nisbiylik va yarimRiemann metrikalari ning umumiy nisbiylik.^[67]
Boshqa yo'nalishda uzunlik, maydon va hajm tushunchalari kengaytiriladi o'lchov nazariyasi, o'lchamini belgilash usullarini o'rganadigan yoki o'lchov ga to'plamlar, bu erda tadbirlar klassik maydon va hajm qoidalariga o'xshash qoidalarga amal qiladi.^[68]
Uyg'unlik va o'xshashlik
Asosiy maqolalar: Uyg'unlik (geometriya) va O'xshashlik (geometriya)
Uyg'unlik va o'xshashlik ikki shakl o'xshash xususiyatlarga ega bo'lganda tasvirlaydigan tushunchalar.^[69] Evklid geometriyasida o'xshashlik bir xil shaklga ega bo'lgan narsalarni tasvirlash uchun ishlatiladi, moslik esa o'lchamlari va shakli jihatidan bir xil bo'lgan narsalarni tasvirlash uchun ishlatiladi.^[70] Xilbert, geometriya uchun yanada qat'iy poydevor yaratish bo'yicha o'z ishida muvofiqlikni xususiyatlarini aniqlanmagan aniqlanmagan atama sifatida ko'rib chiqdi aksiomalar.
Uyg'unlik va o'xshashlik umumlashtiriladi o'zgarish geometriyasi, bu turli xil transformatsiyalar bilan saqlanib qoladigan geometrik narsalarning xususiyatlarini o'rganadi.