Геометрические построения на плоскости

2.2 Методы решения задач на построение

Основными являются три: метод геометрических мест (ГМТ), метод геометрических преобразований, алгебраический метод.

Метод геометрических мест (пересечения фигур).
Сущность не метода: не решение не задачи не сводит не к не построению не некоторой не точки не (основного не элемента не построения), не подчиненной не двум не условиям. не Отбрасывают не одно не из не этих не условий не и не строят не ГМТ не Ф_{1 не , не} удовлетворяющих не первому не условию, не потом не Ф₂ не - не ГМТ, не удовлетворяющих не второму не условию. не По не соответствующей не аксиоме не конструктивной не геометрии не можем не сказать не Ф₁∩Ф₂ не = не Ø не или не нет не и не если не ≠ не Ø, не то не считать не построенным не пересечение не Ф₁ не ∩ не Ф₂. не Точки не Ф₁ не ∩ не Ф₂ не и не только не они не удовлетворяют не обоим не условиям не одновременно. не Точки не пересечения не и не только не они не дают не решение не задачи.
Заметим, не что не успех не от не применения не этого не метода не полностью не зависит не от не знания не конкретных не ГМТ. не Наиболее не часто не применяются не следующие не геометрические не места:
ГМТ не 1. не Множество не точек не плоскости, не каждая не из не которых не равноудалена не от не двух не данных не точек не А не и не В, не есть не серединный не перпендикуляр не отрезка не АВ.
ГMT не 2. не Множество не точек, не находящихся не на не данном не расстоянии не от не данной не прямой, не есть не две не прямые, не параллельные не данной не и не отстоящие не от не нее не на не данном не расстоянии.
ГМТ не 3. не Множество не точек, не каждая не из не которых не равноудалена не от не двух не данных не параллельных не прямых, не есть не прямая, не являющаяся не их не осью не симметрии.
ГМТ не 4. не Множество не точек, не каждая не из не которых не равноудалена не от не двух не пересекающихся не прямых, не есть не две не взаимно не перпендикулярные не прямые, не содержащие не биссектрисы не углов, не образованных не данными не прямыми,
ГМТ не 5. не Множества не точек не плоскости, не из не которых не отрезок не АВ не виден не под не прямым не углом, не есть не окружность не (без не точек не А не и не В не ), не построенная не на не отрезке не АВ не как не на не диаметре.
ГМТ не 6. не Множество не точек не плоскости, не из не которых не отрезок не АВ не виден не под не углом не α, не где не α не ≠ не 90º, не α не ≠ не 180º не , не есть не две не дуги не с не общими не концами не А не и не В не (без не точек не А не и не В), не симметричные не относительно не прямой не АВ.
ГМТ не 7. не Множество не точек не плоскости, не из не которых не данная не окружность не видна не под не углом не α, не где не α не ≠ не π, не есть не окружность,- не концентрическая не с не данной, не радиус не которой не больше не радиуса не данной не окружности. не
ГМТ не 8. не Множество не точек, не делящих не всевозможные не хорда не окружности не (O, не ОА), не проведенные не через не точку не А не окружности, не в не одном не и не том не же не отношении не λ, не где не λ не > не 0, не есть не окружность не (без не точки не А) не с не центром не на не прямой не ОА, не проходящая не через не точку не А. не Если не λ не = не 1, не то не эта не окружность не построена не на не отрезке не ОА не как не на не диаметре.
ГМТ не 9. не Множество не точек не плоскости, не для не каждой не из не которых не разность не квадратов не расстояний не от не двух не данных не точек не А не и не В не постоянна, не есть не прямая, не перпендикулярная не прямой не АB.
ГМТ не 10. не Множество не точек не плоскости, не для не каждой не из не которых не сумма не квадратов не расстояний не до не двух не данных не точек не А не и не В не равна не а², не есть не окружность не с не центром не в не середине не отрезка не АВ, не если не 2а^{2 не} > не AB²; не середина не отрезка не AB, не если не 2a² не = не AB²; не и не пустое не множество, не если не 2a^{2 не не} < не AB².
ГМТ не 11. не Множество не точек не плоскости, не для не каждой не из не которых не отношение не расстояний не до не двух не данных не точек не А не и не В не постоянно не и не отлично не от не единицы, не есть не окружность не с не центром не на не прямой не АВ не (окружность не Аполлония).
Для не иллюстрации не метода не ГМТ не решим не следующую не задачу.
Задача. не Построить не треугольник, не если не известны: не длина не основания не а, не угол не при не вершине не α не и не отношение не боковых не сторон не λ, не λ не ≠ не 1.
Решим не методом не ГМТ.
Анализ. не Две не вершины не А не и не В не искомого не треугольника не легко не построить. не Задача не сводится не к не построению не точки не С. не Точка не С не должна не удовлетворять не следующим не двум не условиям: не 1) не точка не С не принадлежит не сегменту, не вмещающему не данный не угол не α; не 2) не точка не С не принадлежит не окружности не Аполлония.


(рис.4)
ς α
Построение. не Строим не последовательно: не а) не отрезок не АВ, не АВ не = не 0; не б) не сегмент не А не ς не В, не вмещающий не данный не угол не α; не в) не окружность не Аполлония не на не отрезке не АВ; не г) не точку не С не , не принадлежащую не пересечению не сегмента не А не ς не В не и не окружности не Аполлония.
Треугольник не АВС не - не искомый.
Доказательство не и не исследование не предлагаем не читателям не провести не самостоятельно.