"Геометрические построения циркулем и линейкой" 46



Download 0,79 Mb.
bet6/25
Sana23.03.2023
Hajmi0,79 Mb.
#920748
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   25
Bog'liq
Алтынай

1.5. Метод подобия
Метод подобия состоит в том, что сначала строится некоторая фигура, подобная искомой, но удовлетворяющая не всем поставленным в задаче условиям. Затем построенную вспомогательную фигуру заменяем фигурой, ей подобной и удовлетворяющей уже всем требуемым условиям.
Задача решается методом подобия, если ее условие можно разделить на две части, одна из которых определяет форму фигуры с точностью до подобия, а вторая – размеры фигуры. При решении задач в классе или разборе задач из домашнего задания на этот метод следует задавать учащимся вопросы: Что (какая часть) в условии задачи определяет фигуру с точностью до подобия? Что определяет размеры искомой фигуры?
При разработке метода подобия целесообразно классифицировать решаемые задачи по способу задания размеров искомой фигуры:

  1. задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются заданием некоторого отрезка;

  2. задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются заданием суммы или разности некоторых ее отрезков;

  3. задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются положением ее относительно данных фигур.

Такая классификация удобна, главным образом, потому, что для каждой из трех групп задач способы выбора центра подобия различны.
В задачах из первой группы за центр подобия лучше всего выбирать один из концов отрезка вспомогательной фигуры, соответствующего данному отрезку, через который проходит наибольшее число прямолинейных отрезков искомой фигуры, так как при гомотетии лишь прямые, проходящие через центр подобия, преобразуются сами в себя. При таком выборе легко находить одну точку (второй конец данного отрезка) искомой фигуры, что в большинстве случаев значительно облегчает выполнение дальнейшего построения.
И для задач второй группы за центр подобия можно выбирать один из концов построенной суммы или разности отрезков, соответствующей данной. Целесообразно расчленить подобное преобразование: отдельно найти один из отрезков, сумма или разность которых дана, а затем выполнить построение искомой фигуры.
При решении задач третьей группы центр подобия уже определяется, и в большинстве случаев однозначно, расположением фигуры, подобной искомой, относительно данных фигур.
Задача. Построить трапецию ABCD по углу А и основанию ВС, если известно, что AB:CD:AD = 1:2:3.


Рис.9 Рис. 10
Решение. Задачу надо понимать так: даны угол hk и отрезок PQ (рис.9). Требуется построить с помощью циркуля и линейки трапецию ABCD, у которой A = hk, BC = PQ, а остальные три стороны АВ, CD и AD относятся как 1:2:3. Построим сначала какую-нибудь трапецию AB1C1D1, у которой А = hk и AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3. Это сделать совсем не трудно. Строим угол А, равный данному углу, и на его сторонах откладываем произвольный отрезок АВ1 и отрезок AD1 = 3AB1 (рис.10). После этого через точку В1, проводим прямую l, параллельную AD1 и строим окружность радиуса 2АВ1, с центром в точке D1,. Эта окружность пересекает прямую l в двух точках С1 и C1'.
Итак, мы построили две трапеции AB1C1Dl и АВ1С1'D1, у которых A = hk и стороны АВ1, ВС1 (В1С1') и C1Dl (С1'D1) относятся как 1:2:3.
Возьмем одну из этих трапеций, например, AB1C1Dl, проведем прямую АС1, и построим отрезок ВС с концами на сторонах угла В 1АС1, который параллелен B1C1 и равен PQ. Это можно сделать так: на луче AD1 откладываем Рис. 11
отрезок AE = PQ и через точку Е проводим прямую, параллельную AB1. Она пересекается с прямой АС1 в точке С (рис.11). Через точку С проводим прямую, параллельную B1C1, и получаем точку В. Очевидно, отрезок ВС равен PQ. Остается провести через точку С прямую, параллельную C1Dl. Она пересекает луч AD1, в точке D. Трапеция ABCD искомая. В самом деле, А = hk, BC = PQ и (это следует из подобия треугольников ABC и AB1C1, ACD и AС1D1). Отсюда получаем, что AB:СD:AD = AB1:C1D1:AD1 = 1:2:3.
Построенная трапеция ABCD удовлетворяет всем условиям задачи. Если вместо трапеции AB1C1Dl взять трапецию АВ1С1'D1 и проделать такие же построения, то получим второе решение задачи (рис. 12). Итак, данная задача имеет два решения.

Рис. 12



Задача. Даны угол и точка внутри него. Построить окружность, проходящую через точку А и касающуюся сторон угла.
Анализ. Центр искомой окружности должен лежать на биссектрисе данного угла. Снимем требование, чтобы окружность ω проходила через А (это подобно тому, что не требуется, чтобы расстояние от точки О до точки окружности равнялось известному отрезку а). Тогда легко построить окружность ω1 , касающуюся сторон утла. Окружности ω и ω1 гомотетичы (с центром в точке 0). Найдем образы точек А и В: А → А', В→В' . Очевидно, АВ׀׀А'В'.
Учитывая оказанное, можно наметить следующий план решения:
1) строим окружность СО1 , касающуюся сторон угла;
2) проводам ОА;
3) строим точки пересечения ω и ω1;
4) из точки А проводим прямую, параллельную прямой А'В'. Пусть В - одна из точек пересечения.
Построение и доказательство опускаем (самим).
Исследование. 1.Окружность ω1 можно построить и бесчисленным множеством способов.
2. Пересечением ОА и ω1 всегда являются две точки А' и А".
3. Через точку А можно провести две прямые, параллельные соответственно В'А' или В'А''. Эти две прямые l1 и l2 различны, если А ОВ'; и совпадает, если А ОВ'.


Рис. 13
4. Пересечения l1 ∩ ОВ и l2 ∩ ОВ' существуют и единственны, если А ОВ' , т.е. задача в этом случае имеет два решения.
Если же А ОВ', то этим способом центр искомой окружности не найдем. Для этого принципиально нового случая найдем новое специфичное решение: строим прямую, перпендикулярную ОА-биссектрисе данного угла. Далее проведем биссектрисы углов ОСА и МСА. Точки в1 и в2 - искомые центры.




    1. Download 0,79 Mb.

      Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   25




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish