Гармония героновых триад

Гармония героновых триад
Красота в математике часто неборская, срытая, - <<жар холодных чисел>> появляется не сразу. Казалось бы, чем, например, привлекательна такая последовательность триад.
(5; 5; 6), (13; 20; 21), (25; 51; 52), (41; 104; 105), …? (1)
Гармонией, срытой в структуре ее элементов? Но ее еще надо ощутить. А может быть, это и не последовательность вовсе – ведь общий член не указан! Значит, у нас возникла увлекательная поисковая задача: найти общий член ( ), , n N, чтобы утвердиться в том, что (1) не <<ассорти>> из случайных числовых троек, а некая последовательность. Решением этой задачи мы завершим заметку, но вначале, всмотревшись во внешний облик членов последовательности (1), заметим, что это героновы триады (натуральные длины сторон треугольников с численными площадями)! Далее: представим последовательность (1) геометрическими образами – треугольниками (рис. 1).
Вычисляя высоту каждого треугольника, проведенную к большей стороне, подмечаем первые проявления числовой гармонии: длина высоты и длина меньшей стороны каждого треугольника – последовательные натуральные числа

длины средней и наибольшей стороны – также последовательные натуральные числа

Учитель математики М. Норов (с. Сайин Бухарской обл. УзССР), анатомируя им же составленную последовательность (1), раскрывает внутреннюю красоту образующих ее героновых треугольников : 5, 13, 25, 41, … - и подмечает, что , , , , … .
Простая индукция подсказывает:

По формуле (2) М. Норов получил

Не менее гармоничной оказалась и последовательность полепериметров ( ):



откуда по идукции

Рис. 1

С помощью формула (3), (4) и (5) легко выясняется, что

и соответственно

и

Формулы (4), (7), (8) определяют общий член последовательности (1). Строго говоря, только надеемся, что определяют. Дело в том, что получены они М. Норовым хотя красиво, но не подтверждены средствами полной математической индукции.
Однако можно ничего не потерять в строгости вывода формул для ( ), идя другим путем. Будем формировать требуемые героновы триады ( ), достраивая должным образом прямоугольные треугольники (рис. 2), длины сторон которых образуют последовательность пифагоровых триад с общим членом (cm.: Математика в школе, 1983, № 1, с. 57).
Катет BC за высоту, а гипотенузу АВ – за наименьшую сторону геронова треугольника ABD (рис. 2), где и – по условию. Решая треугольник BCD, находим
,
откуда и .