Furye qatorlari’’

4-misol. (-2 , 0) oraliqda ikkita bir xil funktsiyalar ko`paytmasi cos²3x ning ortogonalligini tekshiring.
Yechilishi:


2. Eyler – Furye formulalari
Faraz qilaylik, f(x) funktsiya davriy bo`lib, uning davri 2 bo`lsin.
Teorema. Quyidagi
(1)
trigonometrik qator x ning barcha qiymatlarida f(x) funktsiyaga yaqinlashsin. Agar f(x) funktsiya uchun

integral mavjud bo`lsa, u holda, (1) qatorning koeffisiyentlari uchun quyidagi Eyler – Furye formulalari o`rinli bo`ladi:




(2)
Isboti: Ma`lumki,
. (3)
Ushbu tenglikni – va oraliqda integrallaymiz:
(4)
Oldingi paragrafdagi (2) formulaga asosan (4) tenglikning o`ng tomonidagi integralning birinchisidan tashqari, barcha integrallar nolga teng. U holda, quyidagiga ega bo`lamiz:
ya`ni
Demak, n=0 bo`lganda (2)–Eyler–Furye formulalarining birinchisini hosil qildik. Qolganlari ham shu yo`l bilan topiladi. Bunda (3) tenglik cosnx yoki sinnx ga ko`paytiriladi, so`ngra, integrallanadi. (3) tenglikni cos2x ga hadma – had ko`paytirib, integrallash natijasida quyidagini hosil qilamiz:

(5)
Buning o`ng tomonidagi, to`rtinchisidan tashqari barcha integrallar oldingi paragrafdagi (2), (3) va (4) larga asosan nolga teng. (6) formulaga asosan beshinchi integral ga teng. U holda,


3. Ixtiyoriy davrli trigonometrik qator
Davri 2 dan iborat bo`lgan quyidagi
(6)
trigonometrik qator x ning barcha qiymatlarida f(x) funktsiyaga yaqinlashsin. Agar integral mavjud bo`lsa, u holda, (6) qatorning koeffisentlari uchun quyidagi Eyler–Furye formulalari o`rinli bo`ladi:
(bunda n=0,1,2,3,…)
(bunda n=1,2,3,…) (7)
Oldingi paragrafdagi (2) formulalar = bo`lganda (7) dan kelib chiqadi.