Fure qatarı. Funkciyalardıń ortogonal sisteması

Funkciyalardıń ortogonal sisteması. Ulıwmalasqan Fure qatarı


1.Funkciyalardıń ortogonal sisteması
(x) ham (x) funkciyalar [a,b] da berilgen hám olar usı aralıqta integrallanıwshı bolsın.
Anıqlama 1. Eger bolsa onda (x) ham (x) funkciyalar [a,b] da ortogonal dep ataladı.
Mısal.  (x)=sinx, ham  (x) funkciyalar [-,] de ortogonal boladı.Sebebi (x)=x , (x)=3/2*x² -1 funkciyalar hám [-1,1] de ortogonal boladı.
Haqıyqatında da
Endi
₀(x), ₁(x), ₂(x),…. _n(x) (10)
funkciyalardın hár biri [a,b] da berilgen hám usı aralıqta integrallanıushı bolsın. Bul (10) funkciyalar sistemasın {_n(x) } dep belgileyik.
Anıqlama 2. Eger _n(x) funkciyalar sistemasının qalegen eki _n(x) ham _m(x) funkciyaları ushın (km) bolsa ,ol jaǵdayda
{_n(x) } sisteması [a,b] da ortogonal dep ataladı. Ádette k=m , bolǵanda dep qaraymız hám onı _k arqalı belgileyik.
(11)
Eger (er) sistema ushın _k=1 bolsa {_n(x) }funkciyalar sisteması normal dep ataladı. Eger (10) sistema ushın
bolsa , {_n(x) } funkciyalar sisteması ortonormal dep ataladı.
Mısal 2. 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x……cosnx,sinnx sistema [-~] de ortogonal boladı, sebebi km bolıp bolıp, erikli k,m=0,1,2,3… bolǵanda boladı .
Mısal 3. funkciyalar sisteması
[-~] de ortonormal boladı. Bul sistemanıń [-~] de ortogonal bolıwı anıq. Onıń [-~] de normal bolıwı bolsa bolıwınan kelip shıǵadı.
₀(x), ₁(x), ₂(x),…. _n(x) sistema berilgen bolsın. Onıń járdeminde duzilgen
(12)
shi funkcional qatar {_n(x) } sistema boyınsha qatar delinedi .
с₀, с₁, с₂,….. с_n ózgermes sanlar bolsa qatardın koeficientleri dep ataladı. Dara jagdayda _n(x)=a_ncosnx+b_nsinnx bolganda (12) qatar trigonometrik qatarǵa aylanadı.
f(x) funkciya [a,b] aralıqta berilgen hám usı aralıqta integrallanıwshı bolsın . Onda f(x) _n(x), n=0,1,2,… funkciya hám [a,b] da integrallanıwshı boladı. Bul funkciyalardın integralların esaplap onı tómendegishe belgileymiz.
(13)
Bul sanlardan paydalanıp
(14)
qatardı duzeyik.
Anıqlama 3. ₀, ₁, ₂,…..  koeficientleri (13) formula menen Anıqlangan (14) qatar f(x) funkciyanıń {_n(x) } sistema boyınsha ulıwmalasqan Fure qatarı dep ataladı. ₀, ₁, ₂,…..  sanlar bolsa ulıwmalaskan Fure koeficientleri dep ataladı.