Funksiyaning uzluksizlik moduli

Funksiyaning uzluksizlik
moduli
funksiya X to’plamda aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. son olib, X to’plamning tengsizlikni qanoatlantiruvchi va nuqtalarida ushbu
(1)
ayirmani qaraylik.
1-ta’rif. (1) ayirmaning aniq yuqori chegarasi
(bunda )
funksiyaning X to’plamdagi deb ataladi va yoki kabi belgilanadi:

Bu ta’rifdan funksiyaning uzluksiz moduli δ(δ>0) ning manfiy bo’lmagan funksiyasi ekani ko’rsatiladi.
Endi uzluksizlik modulining ba’zi bir xossalarini keltiramiz.
1° Funksiyaning uzluksizlik moduli o’zgaruvchi ning o’suvchi funksiyasi bo’ladi.
Xaqiqatdan ham va bo’lsin. U holda ushbu


to’plamlar uchun bo’lib, undan bo’ladi, demak,

Shunday qilib, tengsizlik bajarilsa tengsizlik ham bajariladi. Demak, o’suvchi funksiya.
2 Funksiyaning uzluksizlik moduli uchun ushbu
(2)
munosabat o’rinli, bunda - musbat son.
a) =n, bo’lsin. Bu holda (2) tengsizlik ushbu
(3)
ko’rinishga ega bo’lishini ko’rsatamiz.
Faraz qilaylik, biror segment berilgan bo’lib, bo’lsin. Bu segmentni
nuqtalar yordamida ta teng qismga ajratamiz. U holda bu segmentda aniqlangan funksiya uchun
) bo’ladi.
Ikkinchi tomondan, bo’lib,

va

bo’ladi. Demak, bo’lib, undan

bo’lishi kelib chiqadi.
b)  - ixtiyoriy musbat son bo’lsin. Bu xolda (1) tengsizlikni isbotlaymiz.
 sonning butun qismini orqali belgilasak,  uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Uzluksizlik moduli o’suvchi funksiya bo’lganidan xamda a) xolni etiborga olib, quyidagi

tengsizliklarni yozishimiz mumkin.
Misollar. 1. Ushbu funksiyaning segmentdagi uzluksizlik modulini toping.
Uzluksizlik moduli ta’rifiga ko’ra va bo’lganda topamiz:

Demak, funksiyaning segmentdagi uzluksizlik moduli bo’ladi.
2. funksiyaning segmentdagi uzluksizlik modulini toping.
to’plamda ixtiyoriy nuqta olib, nuqtani esa deb qaraylik . U holda ekanini e’tiborga olib yozamiz:
Shuning uchun

bo’ladi.
Ammo nuqtalar uchun va bo’lagani sababli bo’ladi.
Endi funksiyaning tekis uzluksizligi bilan uning uzluksizlik moduli orasidagi bog’lanishni ifodalaydigan teoremani keltiramiz.
1-teorema. funksiya to’plamda tekis uzluksiz bo’lishi uchun limit o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. funksiya X to’plamda tekis uzluksiz bo’lsin. Ta’rifga ko’ra olinganda ham son uchun shunday son topiladiki, nuqtalarda
dan
kelib chiqadi. U xolda tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy δ uchun

bo’lib, undan , ya’ni kelib chiqadi.
Yetarliligi. Ushbu limit o’rinli bo’lsin. Demak, da

U holda lar uchun
dan
kelib chiqadi. Bu esa funksiya to’plamda tekis uzluksiz bo’lishini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.
Funksiyalarning uzluksizlik modullariga qarab ularni sinflarga ajratish mumkin.
1) Uzluksizlik moduli ushbu

(bunda ) munosabatlarni qanoatlantiruvchi funksiyalar to’plami deb ataladi va kabi belgilanadi.
2) Uzluksizlik moduli quyidagi

munosabatni qanoatlantiruvchi uzluksiz funksiyalar to’plami deb ataladi.
Agar bo’lsa, u holda bu funksiya Dini-Lipshits sinfiga ham tegishli bo’ladi. Xaqiqatdan ham,
dan kelib chiqadi va limit o’rinli bo’lganidan, ushbu tenglikning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.