Funksiyaning uzluksizligi

Teorema. Agar x X oraliqda o’zgarganda monoton o’suvchi (kamayuvchi) f(x) funksiyaning qabul qiladigan qiymatlari to’plami birorta Y oraliqqa joylashib, uni tutash to’ldirsa, u holda f(x) funksiya X oraliqda uzluksizdir.
X sohadan ixtiyoriy y nuqta olamiz va u oraliqning o’ng cheti emas deb faraz qilib, f(x) funksiyaning y nuqtada o’ngdan uzluksizligini isbotlaymiz;
shunga o’xshash, agar y nuqta qaralayotgan oraliqning chap cheti bo’lmasa, y nuqtada funksiyaning chapdan uzluksizligini ko’rsatish mumkin, bularning ikkalasidan esa teoremaning natijasi kelib chiqadi. f(y) nuqta Y oraliqda yotib, bu oraliqning o’ng cheti emas ( chunki X da x>y mavjud bo’lib, ularga Y dagi f(x)> y₀ qiymatlar javob beradi).
_{ } ixtiyoriy kichik musbat son bo’lsin; biz qo’shimcha ravishda uni shunchalik kichik deb faraz qilaylikki,
y₁=y₀+_{ }
qiymat ham Y oraliqqa tegishli bo’lsin. Farazimizga muvofiq, Y={f(x)}; u vaqtda X da shunday x₁ qiymat topiladiki,
f(x₁)=y₁ ,
shu bilan birga x₁>y ligi aniq ( chunki x_{ } bo’lsa, f(x) _{ } y₀ bo’ladi).
_{ } x₁-y deylik, demak,
x₁ = y+ _{ } .
Agar
0 < x – y <_{ } , ya’ni y < x < x₁
bo’lsa, u holda
y₀ < f(x) < y₁ = y₀ + _{ } yoki 0 < f(x) – f(y) < _{ }
bo’ladi.
Bu esa

Demakdir, ya’ni f(x) funksiya haqiqatdan ham y nuqtada o’ngdan uzluksizdir, shuni isbotlash talab etilgan edi.
11-chizma yuqorida yuritilgan mulohazaning tasviriy ko’rgazmasi hisoblanadi.

11-chizma.
Uzluksiz funksiyalar ustida arifmetik amallar.
Uzluksiz funksiyalarga misollar keltirishdan oldin, quyidagi sodda jumlani o’rnataylik, u uzluksiz funksiyalarning sonini oshirishga imkon beradi.
Teorema. Agar ikkita f(x) va g(x) funksiya bitta X sohada aniqlangan va ikkalasi ham y nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda
f(x) _{ }
funksiyalar ham shu nuqtada ( oxirgisi g(y) _{ } 0 shart bilan) uzluksiz bo’ladi.
Bu alohida-alohida limitga ega bo’lgan ikkita funksiyaning yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasi va bo’linmasining limiti haqidagi teoremalardan bevosita kelib chiqadi.
Misol uchun ikkita funksiyani bo’linmasiga to’xtaylik.
f(x) va g(x) funksiyalarni y nuqtada uzluksiz deb faraz etish.
_{ }
tengliklarning mavjudligiga teng kuchlidir.
Biroq, bo’linmaning limiti haqidagi teoremaga asosan ( chunki maxrajning limiti 0 emas)
_{ }
ga ega bo’lamiz, bu tenglik esa _{ } funksiyaning y nuqtada uzluksizligini bildiradi.