Funksiyaning uzluksizligi

2. Ko’p o’zgaruvchili funksiya uzluksizligi.
Funksiyaning nuqtada uzluksizligining ta’rifi. Biror X oraliqda aniqlangan f(x) funksiyani ko’raylik va y bu oraliqning nuqtasi bo’lsin, demak, bu nuqtada funksiya aniq f(y) qiymatga ega bo’ladi.
Funksiyaning x argumenti y ga intilgandagi

Limiti haqida tushuncha berilganida x argument y qiymatni qabul qilmaydi deb ta’kidlab o’tganmiz. Bu qiymat hatto funksiyaning mavjudlik sohasiga tegishli bo’lmasligi ham mumkin edi, agar tegishli bo’lsa ham,

ni hosil qilishda f(y) qiymat hisobga olinmas edi.
Biroq huddi shu
_{ } (1)
hol alohida ahamiyatga egadir.
Agar bu munosabat bajarilsa, u holda x=y qiymatda (yoki x=y nuqtada) f(x) funksiya uzluksiz deyiladi; agar bu munosabat bajarilmasa, x=y qiymatda (yoki x=y nuqtada) funksiya uzilishga ega deyiladi.
Berilgan f(x) funksiya y nuqtada uzluksiz bo’lgan holda (va faqat shu holdagina), x→y dagi f(x) ning limitini hisoblaganda x ning y ga intilishida uning hususiy holda shu y qiymatni qabul qilishi yoki qilmasligi farqsizdir. Funksiya uzluksizligining ta’rifini boshqa terminlarda ham berish mumkin.
Berilgan y qiymatdan x ning boshqa qiymatiga o’tishni, y qiymatga 󠆃
_{ }x=x-y
orttirma berilgan deb tasavvur qilish mumkin. Funksiyaning yangi
f(x)=f(y+ _{ }x)
qiymati eski f(y) qiymatidan
f(x)-f(y)=f(y+ _{ }x)-f(y)
orttirma bilan farq qiladi.
Berilgan f(x) funksiya y nuqtada uzluksiz bo’lishi uchun uning bu nuqtadagi orttirmasi erkli o’zgaruvchining _{ }x orttirmasi bilan birga nolga intilishi zarur va yetarlidir.
Boshqacha aytganda, uzluksiz funksiya argumentning cheksiz kichik orttirmasiga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishi bilan xarakterlanadi.
Asosiy (1) ta’rifga qaytib, uning mazmunini “ketma-ketliklar” tilida ochaylik.
f(x) funksiyaning y nuqtada uzluksizligining ma’nosi quyidagicha keltiriladi: X dan olingan x ning y ga intiluvchi qiymatlaridan tuzilgan qanday ketma-ketlik olinmasin, funksiyaning unga mos qiymatlaridan tuzilgan ketma-ketlik f(y) ga intiladi.
Nihoyat, “_{ } tilida” uzluksizlik shunday ifodalanadi:
_{ }son qanday bo’lmasin, uning uchun shunday _{ } son topiladiki, _{ } tengsizlik bajarilganda,
_{ }
ham bajariladi.
Shunday qilib, oxirgi tengsizlik y nuqtaning yetarli kichik ( y-_{ }, y+ _{ } atrofida bajarilishi lozim.
(1) limitni hisoblayotganda, x ning y ga o’ngdan ham, chapdan ham X oraliqdan chiqarmasdan yaqinlashtirishimiz mumkinligini eslatib o’tamiz.
Endi funksiyaning berilgan nuqtadagi bir tomonlama uzluksizligi yoki bir tomonlama uzilishi tushunchasini o’rnataylik.
Agar _{ 
 } (2)
limit munosabat bajarilsa, u holda y nuqtada f(x) funksiya o’ngdan (chapdan) uzluksiz deyiladi.
Agar bu (2) munosabatlarning birinchisi yoki ikkinchisi bajarilmasa, bu holda y nuqtada f(x) funksiya mos ravishda o’ngdan yoki chapdan uzilishga egadir.
X oraliqning chap(o’ng) chetida funksiya aniqlangan bo’lsa, u holda bu nuqtaga nisbatan funksiyaning faqat o’ngdan ( chapdan) uzluksizligi yoki uzilishi haqida so’z borishi mumkin.
Agar y nuqta X oraliqning ichki nuqtasi bo’lsa, ya’ni u oraliqning hech qaysi cheti bilan ustma-ust tushmasa, u holda y nuqtada funksiya uzluksizligini odatdagi ma’noda ifodalovchi (1) tenglikning bajarilishi uchun (2) tengliklarning ikkalasi ham birdaniga bajarilishi zarur va yetarlidir. Boshqacha aytganda, funksiyaning y nuqtadagi uzluksizligi uning shu nuqtada bir vaqtda o’ngdan va chapdan uzluksiz bo’lishi bilan teng kuchlidir.
Agar funksiya oraliqning har bir nuqtasida alohida-alohida uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya X oraliqda uzliksiz.
Monoton funksiyaning uzluksizlik sharti. X oraliqda monoton o’suvchi (kamayuvchi) f(x) funksiyani qaraylik. Bu oraliq chekli, cheksiz, yopiq, yarim ochiq yoki ochiq bo’lishi ham mumkin. Hozir biz shunday bir sodda alomatni o’rnatamizki, uning yordami bilan bunga o’xshash funksiyalar uchun hamma X oraliqda uning uzluksizligi birdaniga bilinadi.