Funksiyaning uzluksizligi

Aytaylik, y=f(x) funksiya xÌR to`plamda aniqlangan bo`lib, x₀(x₀ÎX) to`plamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bo`lsin. Bunda x®x₀ da f(x) funksiya uchun quyidagi uch holdan bittasigina bajariladi:

1) chekli f(x₀-0), f(x₀+0) chap va o`ng limitlar mavjud va

f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀) tenglik o`rinli. Bu holda f(x) funksiya x=x<sub>0</sub> da uzluksiz bo`ladi;

2) f(x₀-0), f(x₀+0) lar mavjud, lekin f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀) tengliklar bajarilmaydi, u holda f(x)®x=x₀ nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi;

3) f(x₀-0), f(x₀+0) larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda x₀ nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;

4) f(x₀-0)=f(x₀+0)¹f(x₀) bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bo`lgan uzilish deyiladi.

Misol. Ushbu f(x)=[x] funksiyaning x₀=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligini ko`rsating.

Yechish. Demak, [x]=1, =2

Bundan esa berilgan funksiyaning x₀=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligi kelib chiqadi.


Uzluksiz funksiyaning xossalari


Berilgan f(x) va q(x) funksiyalar X to`plamda aniqlangan bo`lib, x₀ÎX nuqta X to`plamning limit nuqtasi bo`lsin.

1-teorema. Agar f(x) va q(x) funksiyalar x₀ nuqtada uzluksiz bo`lsa u holda f(x)±q(x), f(x)×q(x), : (q(x)¹0), "xÎX funksiyalar ham x₀ nuqtada uzluksiz bo’ladi.

1-misol. Ushbu f(x)=3x³+sin²x funksiyaning x=R da uzluksizligini ko`rsating.

Yechish. j(x)=x, q(x)=sinx funksiyalar R uzluksiz. Bunda f(x) funksiyani f(x)=3×x×x×x+sinx×sinx ko`rinishda yozamiz, u holda uzluksiz funksiyalar ustidagi arifmetik amallarga ko`ra, f(x) funksiyaning R da uzluksizligi kelib chiqadi.

2-teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo`lsa, u holda [a;b] kesmada funksiya o`zining eng kichik va eng katta qiymatiga erishadi, ya’ni shunday nuqtalar mavjudki, barcha lar uchun va tengsizliklar o`rinli bo`ladi.

Funksiyani qiymatini y=f(x) funksiyaning [a,b] kesmadagi eng katta qiymati deb, ni esa eng kichik qiymati deb ataymiz. Bu teorema qisqacha bunday ifodalanadi: kesmada uzluksiz

funksiya hech bo`lmaganda bir marta eng katta M qiymatga va eng kichik m qiymatga erishadi.

3-teorema. Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo`lib, bu kesmaning uchlarida turli ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda [a,b] kesmada hech bo`lmaganda shunday bir x=c nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiya nolga aylanadi: f(c)=0; a

Misol. funksiya berilgan. Bu funksiya [1; 2] kesmada uzluksiz. Demak, bu kesmada nolga aylanadigan nuqta mavjud. Haqiqatdan ham da y=0

4-Teorema. y=f(x) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo`lsin. Agar kesmaning uchlarida funksiya teng bo`lmagan f(a)=A, f(b)=B qiymatlarni qabul qilsa, u holda funksiya A va B sonlar orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi. U holda A<<="" i="">

3-teorema bu teoremaning xususiy holi, chunki A va B lar turli ishoralarga ega bo`lsa, u holda ni o‘rnida O ni olish mumkin.

Uzluksiz funksiyalarga doir teoremalar
 

1. x₀ nuqtaning yetarli kichik atrofida funksiya chegaralangan bo`ladi.