Funksiyaning limiti

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. Funksiya limitining tilidagi ta’rifidan foydalanib,

ekanligi isbotlasin.

Isbot: Buning uchun ixtiyoriy soni bo’yicha shunday sonni topish kerakki, va shartlarni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun

 shart bajarilishini ko’rsatishimiz kerak. Bundan

│x - 1│< bo’lganda tengsizlikni bajarilishi kelib chiqadi.

Demak,

2.

funksiyaning x=1 nuqtadagi o’ng limiti 4 ga va chap limiti nolga tengligi isbotlansin.

Isbot: Buning uchun ixtiyoriy son bo’yicha shunday topiladiki,

tengsizikni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun tengsizlikni bajarilishini ko’rsatish kifoya. bo’lganda .

Demak,

2 bo’lganda tengsizlik bajariladi.

2 tengsizlikdan kelib chiqadi.

Agar deb olinsa, bo’lganda tengsizlik bajariladi. Shuning uchun

Endi berilgan funksiyaning nuqtadagi chap limitini nolga teng ekanligini ko’rsatamiz. Bu holda va . Agar bo’lishi talab qilinsa, u holda tengsizlik bajariladi.

Bu yerda deb olinsa, ixtiyoriy son uchun tengsizlikni qanoatlantiruvchi ning barcha qiymatlarida tengsizlik bajariladi. Demak,

3. funksiya uchun bo’lishini isbotlang.

Isbot: Ixtiyoriy son uchun deb olinsa, u holda tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x larda

tengsizlik bajariladi. Demak,

4. ekanligini isbotlang.

Isbot: ixtiyoriy son bo’lsin. Shunday larni topish kerakki, natijada

yoki bo’lsin. Bundan

yoki bo’ladi. Agar deb olinsa, u holda tengsizlikni qanoatlantiruvchi x ning barcha qiymatlarida

tengsizlik bajariladi. Shuning uchun

5. hisoblansin.

Yechish:

6. hisoblansin.

Yechish: Agar biz limitlar haqidagi teoremalarni qo’llaydigan bo’lsak, u holda aniqmaslikka kelamiz. Shuning uchun biz dastlab berilgan kasrning suratini ko’paytuvchilarga ajratamiz:

7. hisoblansin.

Yechish:

8. hisoblansin.

Yechish: 2∙1∙1=2.