Funksiyaning hosilasi va differensiali



Download 243,95 Kb.
bet7/10
Sana18.03.2022
Hajmi243,95 Kb.
#500147
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Bog'liq
6-mavzu. FUNKSIYANING HOSILASI VA DIFFERENSIALI

20. Ko’phad uchun Teylor formulasi. Ushbu
Pn(x)  a0 a1(x x0)  a2(x x0)2  an(x x0)n (6.24)
(bunda a0 ,a1,a2 ,,an va x0 o’zgarmas haqiqiy sonlar, nN ) ko’phadni qaraylik. Bu ko’phadni ketma–ket n marta differensiallab topamiz:
Pn(x)  a1  2a2(x x0) 3a3(x x0)2  nan (x x0)n1,
Pn(x)  2a2 32a3(x x0)  n(n1)an (x x0)n2,
Pn(x)  32a3  n (n 1) (n 2) an(x x0)n3, (6.25)
………………………………
Pnn(x)  n(n 1)(n  2)2an
Bu (6.24) va (6.25) tengliklarda x x0 deb olinsa, unda berilgan Pn (x) ko’phad va uning hosilalari Pnk(x) (k 1, 2,,n) ning x0 nuqtadagi qiymatlari topilsin:
Pn (x0 )  a0 ,
Pn(x0 ) 1!a1 ,
Pn(x0 )  2!a2 , …………… Pnn(x0)  n!an.
Undan
a0 Pn (x0 ),
Pn(x0 ) a1  ,
1!
Pn(x0) a2  ,
2!
……………
an Pnn(x0)
n!
kelib chiqadi.
Shunday qilib, Pn (x) ko’phadning koeffitsientlari ko’phad va uning hosilalarining x0 nuqtadagi qiymatlari orqali ifodalanadi. Koeffitsientlarning bu qiymatlarini (6.24) ga qo’ysak , unda
Pn(x0)(x Pn(x )
Pn(x)  Pn(x0)   x0)  n n! 0 (x x0)n (6.26)
1!
bo’ladi.
(6.26) formula ko’phad uchun Teylor formulasi deb ataladi.
30.Ixtiyori funksiya uchun Teylor formulasi. f (x) funksiyaa,b
intervalda aniqlangan bo’lib, u x0 a,b nuqtada f (x0), f (x0),, f n(x0) hosililarga ega bo’lsin. Funksiyaning nuqtadagi hosilalaridan foydalanib, quyidagi
f (1!x0)(x x0)  f 2(!x0)(x x0)2  f nn(!x0)(x x0)n Pn( f ;x)  P(x0)  f (x0)  ko’phadni tuzaylik.
Agar qaralyotgan f (x) funksiya ndarajali ko’phad bo’lsa, unda yuqorida (2–bandda) aytilganga ko’ra f (x)  Pn ( f ;x)
ya’ni
f (1!x0)(x x0)  f 2(!x0)(x x0)2  f nn(!x0)(x x0)n f (x)  f (x0) 
bo’ladi.
Agar f (x) funksiya ko’phad bo’lmasa, Ravshanki,

f (x)≡Pn ( f ;x)
bo’lib, ular orasida farq yuzaga keladi. Biz uni Rn (x) orqali belgilaylik:
Rn (x)  f (x)  Pn ( f ;x)
Natijada ushbu f (x)  Pn ( f ;x)  Rn (x)
ya’ni
f (x0)(x x0)  f (x0)(x x0)2  f nn(!x0)(x x0)n Rn(x) (6.27) f (x)  f (x0) 
1! 2!
formulaga kelamiz. Bu (6.27) formula f (x) funksiya uchun Teylor formulasi deb ataladi. Rn (x) esa Teylor formulasining qoldiq hadi deyiladi.
f (x) funksiya Pn ( f;x) ko’phad bilan taqribiy f (x)  Pn ( f ;x) ifodalashda Teylor formulasidan keng foydalaniladi. Bunda qoldiq had Rn (x) ni baholash muhim. Bu masalani hal qilish uchun f (x) funksiyaga “og’irroq” shart qo’yishga to’g’ri keladi. f (x) funksiyaa,b intervalda aniqlangan bo’lib, u shu intervalda uzluksiz f (x), f (x),, f n(x ) hosilalarga ega bo’lsin degan edik. Endi a,b intervalda bu funksiyaning n 1tartibli
f n1(x) hosilasi ham mavjut bo’lsin deymiz. a,b intervalda argument x ning ixtiyori qiymatini tayinlab quyidagi

f (t) f (t) 2 f n(t)(x t)n (6.28) F(t)  f (x)  f (t)  1! (x t)  2! (x t)  n!
yordamchi funksiyani tuzamiz va uni x0 , x a,b (yoki x, x0  a,b ) segmentda qaraymiz. F(t) funksiyaning (6.28) ifodasidan uning x0 ,x segmentda uzluksiz bo’lishini ko’rish qiyin emas. Bu funksiya x0 , x intervalda hosilaga ham ega. Haqiqatan ham,
f (t)   f (t) 2 f n(t) (x t)
F(t)   f (t)   1! (x t)  f (x)  2! (x t) 1! 
 
- f nn1!(t) (x t)n  (fnn(1t)!) (x t)n1  f nn1!(t) (x t)n
Demak,
f n1(t) n
F(t)   (x t) (6.29)
n!
Endi x0 ,x segmentda uzluksiz va x0 , x intervalda chekli (nolga teng bo’lmagan ) hosilaga ega bo’lgan biror  (t) funksiyani olaylik.
F(t) va  (t) funksiyalarga x0 ,x segmentda Koshi teoremasini qo’llanib topamiz.
F(x)  F(x0)  F(c) (6.30)  (x)  (x0) (c)
bunda,
x0 c x (c x0 (x x0 ),0 1)
Yuqoridagi (6.28) funksiya uchun
F(x)  0, F(x0 )  Rn (x)
tengliklarga egamiz. Endi (6.29) tenglikdan t  0 da
f n1(c)
F(c)   (x c) n!
bo’lishini etiborga olsak, Unda (6.30) tenglikdan
 (x)  (x0 ) f n1(c) (x c)n (6.31)
Rn (x)  
(c) n!
c x0 (x x0 ) formula kelib chiqadi.
Shunday qilib, Teylor formulasining qoldiq hadi uchun (6.31) formula topildi. Bu holda f (x) funksiyaning Teylor formulasi quyidagi
f (x ) f (x ) f n(x )
f (x)  f (x0)  1! 0 (x x0)  2! 0 (x x0)2  n! 0 (x x0)n
 (x)  (x0) f n1(c) (x c)n ,
 
(c) n!
c x0  (x x0 ), 0 1 (6.32)
ko’rinishda yoziladi.
Terlor formulasidan kengroq foydalanish maqsadida, uning qoldiq hadining turli ko’rinishlarini keltiramiz.
1). Koshi ko’rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi. Yuqorida qaralgan  (t) funksiya sifatida  (t)  x t funksiyani olaylik. Ravshanki, bu funksiya x0 , x a,b segmentda uzluksiz, x0 , x intervalda esa chekli (t)  1 hosilaga ega. Bu funksiya uchun  (x)  0,  (x0 )  x x0 bo’ladi. Natijada (6.31) formula quyidagi
Rn(x)  f n1(c) (x c)n(x x0)  n!

f n1(c) x x0 (x x0)n(x x0 f n1(c) n1(1)n, 0 1
)  (x x0) n! n!
ko’rinishni oladi. Qoldiq hadning bu ifodasini (6.32)ga qo’yib topamiz.
f (x0) (x f (x ) f n(x )
f (x)  f(x0)n1(c)1!(x x)xn0)1(12!)n0. (x x0)2  n! 0 (x x0)n  (6.33) f 0 n!
Bu (6.33) formula f (x) funksiyaning Koshi ko’rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi deb ataladi.
2). Lagranj ko’rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi. Endi  (t) xtn1 funksiyani olaylik. Bu funksiya ham x0 , x a,b segmentda uzluksiz, x0 , x intervalda esa chekli (t)  (n1)(xt)n hosilaga ega. Bu funksiya uchun
 (x)  0,  (x0)  (x x0)n1,
(c)  (n1)(x c)n, (c x0  (x x0), 0 1)
bo’ladi. U holda yuqoridagi (6.31) formula ushbu

f n1(c) n  (x x0 )n1 f n|(c)(x x0 )n1 Rn (x)  n! (x c)  (n 1)(x c)n  (n 1)!
ko’rinishni oladi. Qoldiq hadning bu ifodasini (6.32) qo’yib topamiz:
f (x)  f (x0 )  f (1!x0 ) (x x0 ) f (x0 ) (x x0 ) 2 f nn(!x0 ) (x x0 )n
2!
 n1(c) (x x0 )n1. (6.34) f
n 1!
Bu formula f (x) funksiyaning Lagranj ko’rinishidagi qoldiq hadli
Teylor formulasi deb ataladi.
Teylor formulasi qoldiq hadining bu ko’rinishi sodda bo’lib, u (6.34) formuladagi navbatda keladigan hadni eslatadi. Faqat bunda funksiyaning n 1tartibli hosilasining x0 nuqtadagi qiymati o’rnida bu hosilaning c (c x0 (x x0 )) nuqtadagi qiymati olinadi.

Download 243,95 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish