Funksiyaning hosilasi va differensiali



Download 243,95 Kb.
bet1/10
Sana18.03.2022
Hajmi243,95 Kb.
#500147
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Bog'liq
6-mavzu. FUNKSIYANING HOSILASI VA DIFFERENSIALI

FUNKSIYANING HOSILASI VA DIFFERENSIALI


Funksiyaning hosilasi va differensiali tushunchalari matematik analiz-ning fundamental tushunchalaridandir.
Biz ushbu bobda funksiya hosilasi va differensiali tushunchalari bilan tanishamiz, funksiyalarning hosilasi va differensialini hisoblashni, shuningdek, differensial hisobning asosiy teoremalarini o’rganamiz.
1 – §. Funksiyaning hosilasi.
10. Funksiya hosilasining ta’rifi. Faraz qilaylik, y f (x)funksiya
(a,b) intervalda berilgan, x0 (a,b) , (x0  x)(a,b) bo’lsin.
Ma’lumki,
y  f (x0)  f (x0  x) f (x0)
funksiya orttirmasi muayyan funksiya va x0 nuqtalarda xga bog’liq bo’ladi.
1 – ta’rif. Agar
lim y lim f (x0 x) f (x0)
x0 x x0 x
mavjud va chekli bo’lsa, bu limit f (x) funksiyanig x0 nuqtadagi hosilasi deb ataladi. Funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi odatada,
dy

f (x0) yoki yxx0 , yoki dx x x0
belgilar yordamida yoziladi.
Demak,
f (x0)  limx0 yx  limx0 f (x0  xx)  f (x0)
Bunda x0 x x deb olaylik, unda x xx0 va x 0 da x x0 bo’lib, natijada
lim y  lim f (x0  x) f (x0)  lim f (x) f (x0)
x0 x x0 x x0 xx0
bo’ladi. Demak, f (x) funksiyanig x0 nuqtadagi hosilasi x x0 da
f (x) f (x0)

xx0
nisbatning limiti sifatida ham ta’riflanishi mumkin:
f (x0)  limx0 f (xx)xf0(x0) . (6.1)
Ravshanki, f (x) funksiya (a,b)intervalning har bir x nuqtasida hosilaga ega bo’lsa, bu hosila x o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi. Misollar qaraylik.

  1. f (x)  C const funksiya uchun, y  0

lim y  0
x0 x
bo’lib, y  0 bo’ladi.

  1. f (x)  x funksiya uchun y  x

lim y  lim x 1
x0 x x0 x
bo’lib, y 1 bo’ladi.

v) f (x)  x funksiya uchun x0  0 nuqtada y  x bo’lib,

lim y  lim x
x0 x x0 x
limit mavjud bo’lmaydi. Demak, bu funksiya x0  0 nuqtada hosilaga ega emas.
6.1−misol. f (x)  ex funksiyaning x 1 nuqtadagi hosilasi topilsin.
Funksiya hosilasining (6.1) ta’rifidan foydalanib, topamiz:
y  lim ex e  lim et1 e elim et 1  elnee.
x 1 x1 x 1 t0 t t0 t
Demak, (ex)x1 e.
6.2–misol. f (x)  ln x ( x  0 ) funksiyaning ixtiyoriy x  0 nuqtadagi hosilasi hisoblansin.
Berilgan funksiyaning x nuqtadagi orttirmasi
y  ln(x  x) ln x  ln1 x , (x  0)
x
bo’lib,
x
y 1  x  1  x x
 ln1   ln1 
x x x x x
bo’ladi. Ma’lumki,
x
limln1 x x 1 x0  x
(qaralsin 5−bob). Unda lim y 1 limit o’rinli bo’ladi. Demak, (ln x)  1 x0 x x x
.
6.3–misol. f (x)  cos x funksiyaning ixtiyoriy xR nuqtadagi hasilasi hisoblansin.
Bu funksiya uchun
x x
y cos( xx )cosx2sin( x )sin
2 2
bo’lib,
sin x
lim y  lim sin(x x) lim 2 sin x
x0 x x0 2 x0 x
2
bo’ladi. Demak, (cosx)  sin x (xR).

6.4–misol. f (x)  x (x  0) funksiyaning x(0,) nuqtadagi hosi-lasi topilsin.
Bu funksiyaning hosilasi x o’zgaruvchining ushbu
y  lim x  x x  lim 1  1
x0 x x0 x  x x 2 x
funksiya bo’ladi.
2−ta’rif. Agar
lim y  lim f (x0  x)  f (x0)
x0 x x0 x
 lim y  lim f (x0  x)  f (x0) 

x0 x x0 x
mavjud va chekli bo’lsa, bu limit f (x) funksiyaning x0 nuqtadagi o’ng (chap) hosilasi deb ataladi. Funksiyaning x0 nuqtadagi o’ng (chap) hosilasi f (x0  0) ( f (x0 0) ) kabi belgilanadi.


Odatda funksiyaning o’ng va chap hosilalari bir tomonli hosilalar deb ataladi. Masalan, f (x)  x funksiya uchun lim y 1 , lim y  1 bo’ladi.
x0 x x0 x

Demak, f (x)  x funksiyaning x  0 nuqtadagi o’ng hosilasi 1 ga, chap hosilasi 1 ga teng.
y
1−eslatma. Agar x 0 da nisbatning limiti aniq ishorali
x
cheksiz bo’lsa, uni ham f (x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi deb yuritiladi. Bunday holda f (x)funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi  (yoki -) ga teng deyiladi.
20. Hosilaning geometrik va mexanik ma’nolari.
a). Hosilaning geometrik ma’nosi. f (x) funksiya (a, b) intervalda uzluksiz bo’lib, x0 (a, b) nuqtada f (x0) hosilaga ega bo’lsin:
f (x0)  limx0 f (x0  xx)  f (x0) .
f (x) funksiyaning garafigi biror Г chiziqni ifodalasin deylik. (30chizma).
Endi Г chiziqqa uning M0(x0, f (x0)) nuqtasida urinma o’tkazish masalasini qaraymiz.

Г chiziqda M0 nuqtadan farqli M(x0 x, f (x0 x)) nuqtani olib, bu nuqtalar orqali  kesuvchi o’tkazamiz.  kesuvchining OX o’qi bilan tashkil etgan burchagini  bilan belgilaylik. Ravshanki,  burchak x ga bog’liq bo’ladi:  (x).
Agar  kesuvchining M nuqta Г chiziq bo’ylab M0 ga intilgandagi (ya’ni x 0 dagi) limit holati mavjud bo’lsa, kesuvchining bu limit holati Г chiziqqa M0 nuqtada o’tkazilgan urinma deb ataladi. Urinma – to’g’ri chiziqdan iborat.
Ma’lumki, M0 nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq M0 nuqtaning koor-dinatalari hamda bu chiziqning burchak koeffitsienti orqali to’liq aniqlanadi. f (x) funksiya grafigiga M0 nuqtada o’tkazilgan urinma mavjud bo’lishi uchun
lim (x) 
x0
limitning mavjudligini lo’rsatish yetarli, bunda  urinmaning OX o’q bilan tashkil etgan burchagi. MM0P dan
MP y f (x0  x) f (x0)

tg (x)    , M0P x x
bundan esa
f (x0 x) f (x0)
 (x)  arctg
x
bo’lishini topamiz. u arctgt funksiyaning uzluksizligidan foydalansak,
f (x0  x)  f (x0)
lim  (x)  lim arctg
x0 x0 x

arctglimx0 f (x0  xx)  f (x0)arctgf (x0) 
bo’lishi kelib chiqadi. Demak, lim (x) mavjud va
x0
 lim (x)  arctg f (x0)
x0
bo’ladi. Keyingi tenglidan
f (x0 )  tg
bo’lishini topamiz. Shunday qilib, f (x) funksiya x0 (a,b) nuqtada f (x0 ) hosilaga ega bo’lsa, bu funksiya grafigiga M 0 (x0 , f (x0 )) nuqtada o’tkazilgan urinma mavjud. Funksiyaning x0 nuqtasidagi hosilasi f (x0 ) esa bu urinmaning burchak koeffitsientini ifodalaydi. urinmaning tenglamasi esa ushbu y f (x0)  f (x0)(x x0)
ko’rinishda bo’ladi.
b). Hosilaning mexanik ma’nosi. Moddiy nuqtaning harakati s f (t) qoida bilan ifodalangan bo’lsin, bunda t vaqt, s shu vaqt
ichida o’tilgan yo’l (masofa). Bu qonun bo’yicha harakat qilayotgan nuqtaning t0 momentdagi oniy tezligini topish masalasini qaraylik. t vaqtning t0 qiymati bilan birga t0 t (t 0) qiymatini ham olib, bu nuqtalarda s f (t) ning qiymatlarini topamiz. Moddiy nuqta t vaqt ichida
s f (t0  t) f (t0)
masofani o’tadi va uning [t0, t0 t] segmentdagi o’rtacha tezligis f (t0  t) f (t0)

t t
bo’ladi. t 0 da s nisbatning limiti moddiy nuqtaning t0
t
momentdagi oniy tezligi v ni ifodalaydi:
v  lim s  lim f (t0  t)  f (t0) .
t0 t t0 t
Hosila ta’rifiga ko’ra
limt0 f (t0  tt)  f (t0)  f (t0).
Demak, s f (t) funksiyaning t0 nuqtadagi hosilasi mexanik nuqtai
nazardan s f (t) qonun bilan harakat qilayotgan moddiy nuqtaning t0 momentdagi oniy tezligini bildiradi.

Download 243,95 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish