Funksiyaning differensiali. (Roll, lagranj, koshiteoremalari). Reja

Funksiyani xossalari.
Trigonometrik tenglamalar va tengsizliklarni yechishda va Funksiyalarni tekshirishda trigonometrik Funksiyalarning xossalarini bilish muhim ahamiyatga ega.
1. Funksiyaning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to’plamidan iborat.
2. Funksiyaning qiymatlar sohasi [-1;1] kesmadan iborat. Demak, y=sinx Funksiya chegaralangan.
3. Funksiya toq. Chunki sin(-x)=-sinx .
4. Funksiya davriy bo’lib, uning eng kichik musbat davri ga teng. Ya’ni lar uchun sin(x+2 )=sinx.
5. x=k , da sinx=0.
6. , da sinx>0.
7. , da sinx<0.
8. Funksiya , kesmada –1 dan 1 gacha o’sadi.
9. Funksiya , kesmada 1 dan -1 gacha kamayadi.
10. Funksiya , nuqtalarda 1 ga teng eng katta qiymatga erishadi.
11. Funksiya , nuqtalarda -1 ga teng eng kichik qiymatga erishadi.
y=sinx funksiyaning yuqoridagi xossalariga asoslanib kesmada, ya’ni uzunligi ga teng kesmada uni davriyligini e’tiborga olib esa butun sonlar to’g’ri chizig’ida grafigini yasash mumkin.



Misollar:
1. 2sin²x+cos²x ning eng katta qiymatini toping.
Yechish: 2sin²x+cos²x=sin²x+cos²x+sin²x=1+sin²x 2. sinx ning eng katta qiymati 1 ga teng bo’lgani uchun sin²x ning eng katta qiymati ham 1 ga teng bo’ladi.
Javob: 2
2. ning eng kichik qiymatini toping.
Yechish: . Bu holda sin² ning eng kichik qiymati nolga teng.
Javob: 1
3. ifodaning eng katta qiymatini aniqlang.
Yechish:
= . Chunki sin2x ning eng katta qiymati 1 ga teng.
Javob:
Funksiya differensiali va uni taqribiy hisoblashlarga qo’llanilishi.
Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, ya’ni o’sha nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsa, u holda

bo’ladi, bunda da . Bundan

kelib chiqadi.
Demak, funksiya orttirmasi ikkita qo’shiluvchidan iborat bo’lib, uning birinchi qo’shiluvchisi ga nisbatan chiziqli ifoda, ikkinchi qo’shiluvchi esa yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor ekan.
Funksiya orttirmasi ning ga nisbatan chiziqli bo’lgan bosh qismi funksiyaning differensiali deyiladi va bilan belgilanadi. Ya’ni .
Agar bu formulada deb olsak, u holda ga ega bo’lamiz. Shuning uchun ham

tenglikdan ekani, ya’ni yetarlicha kichik uchun funksiya orttirmasi uning differensialiga taqribiy teng ekani kelib chiqadi.
Funksiya orttirmasini funksiya differensiali bilan almashtirgandagi absolyut xatolik ga va nisbiy xatolik

ga teng bo’ladi.
Har qanday differensiallanuvchi va funksiyalar uchun quyidagilar o’rinlidir:
1.
2. .
. , .
Funnksiya diffferensialining ifodasidan foydalanib ko’p uchrab turadigan funksiyalarning differensiallari jadavalini keltiramiz:
funksiyaning differensiali ning nuqtadagi differensiali berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali deb ataladi va yoki kabi belgilanadi. Demak,

Funksiyaning uchinchi,to’rtinchi va hokazo tartibli differensiallari ham xuddi shunga o’xshash ta’riflanadi. Ya’ni,
.
Funksiyaning differensialidan taqribiy hisoblashlarda foydalanish mumkin. Bunda biz argument orttirmasi juda kichik son bo’lganda funksiya differensiali va funksiya orttirmasi qiymatlari bir–biriga yaqin, ya’ni

bo’lishidan foydalanamiz.