Funksiyaga oid tabaqalashtirilgan individual masalalar yechish
Reja:
1. Funksiyaning differensiali.
2. Elementar funksiyalarning differensiali jadvali
3. Funksiyaning differensialining taqribiy hisoblashga tatbiqi.
4. Funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali.
Funksiyaning differensiali.
Elementar funksiyalarning differensiali jadvali.
Funksiyaning differensialining taqribiy hisoblashga tatbiqi.
f (x0 x)
f (x0 )
f (x0 )x
(3)
(3) formuladan funksiya qiymatini taqribiy hisoblashlarda foydalaniladi.
1-misol.
f (x) 3x 2 7
funksiyaning, argument 2 dan 2,001 gacha
o’zgargandagi orttirmasini taqriban toping.
Yechish. (3) formuladan foydalanamiz.
x0 2 ,
x 0.001.
f (x) 6x,
0.012.
f (x0 ) 6 2 12 ,
f (x0 ) df (x0 )
f (x0 )
x 12 0.001
Funksiya orttirmasi o’rniga uning differensialini olib qancha xatoga yo’l qo’yilganini baholaymiz: buning uchun haqiqiy orttirmani topamiz,
f (x0 )
f (x0 x)
f (x0 ) 3(x0 x)2 7 (3x2 7)
0
3x2 6x x 3(x)2 7 3x2 7
0 0 0
6x0x 3(x)2
6 2 0.001 3 0.000001 0.012003.
Demak, absalyut xato
y dy
Nisbiy xato
0.012003 0.012
0.000003.
0.000003 0.00025
dy 0.012
yoki
0,025%.
Taqribiy hisoblash xatosi ancha kichik, bu esa yuqoridagi taqribiy tenglikdan taqribiy hisoblashlarda foydalanish mumkinligini ko’rsatadi.
Funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali.
Ferma teoremasi.
Ferma teoremasi. (1602-1665y. – atoqli fransuz matematigi).
f ( x)
funksiya birorta X oraliqda aniqlangan va bu oraliqning ichki c
nuqtasida eng katta (eng kichik) qiymatga ega bo’lib, hamda bu nuqtada
chekli f (c) hosila mavjud bo’lsa,
f
tenglik o’rinli bo’lishi zarur.
( c ) 0
Ferma teoremasi sodda geometrik ma’noga ega. Teorema shartlari bajarilganda X oraliqda shunday c nuqta mavjud bo’ladiki, bu nuqtadan funksiya grafigiga o’tkazilgan urinma OX o’qiga parallel bo’ladi(21.1- chizma).
y y
A B
O c x O a c b x
21.1-chizma 21.2-chizma
Roll teoremasi.
Lagranj teoremasi.
Teylor teoremasi .
Makloren formulasi.
“Funksiyaning differensiali va differensial hisobning asosiy teoremalari” mavzusi bo‘yicha test topshriqlari
I darajali testlar
Funksiya orttirmasi uchun formulani toping.
A) y yx x
D) y yx x2
В) y yx x
E) y yx2 x
y
f x funksiyaning differensialini toping.
dy ydx
dy yx x2
В) dy y x x
dx ydy
y
f x funksiyaning 2-tartibli differensialini toping.
A) d 2 y d (dy) d ( ydx) y dx2 В) d 2 y ydx2
D) d 2 y ydx E) d 2 y ydx
Roll teoremasining shartlari quyidagilarning qaysilarida to’g’ri berilgan: 1)
f (x) funksiya a, b kesmada aniqlangan va uzluksiz; 2) aqalli a,b oraliqda
f (x) chekli hosila mavjud emas; 3) oraliqning chetki nuqtalarida funksiya
teng f (a)
f (b)
qiymatlarni qabul qiladi
A) 1), 3) В) 1), 2) D) hammasi E) 2), 3)
Lagranj teoremasining shartlari quyidagilarning qaysilarida to’g’ri berilgan: 1)
f ( x) funksiya a, b kesmada aniqlangan va uzluksiz; 2) aqalli a, b ochiq
oraliqda chekli
f (x)
hosila mavjud; 3) oraliqning chetki nuqtalarida funksiya
teng f (a)
f (b)
qiymatlarni qabul qiladi
A) 1), 2) В)1), 3) D) hammasi E) 2), 3)
Lagranj formulasini toping.
A) f ( b)
f (b)
f ( a)
f ( a)
f ( c) ( b a)
f ( c) ( b a)
В) f ( b)
f (b)
f ( a)
f ( a)
f ( c) ( b a)
f ( c) ( b a)
Teylor formulasini toping.
f ( x) f ( a) f (a) ( x a) f (a) ( x a) 2
A) n
1! 2!
n 1
f (a) x an f a (x a) (x a)n 1
n! (n 1)!
f (x) f (0) f (0) (x a) f (0) (x a)2
В) n
1! 2!
n 1
f (0) x an f (x) (x a)n1
n! (n 1)!
f (x) f (a) f (a) x f (a) x2
D)
1! 2!
n!
f n1 a ( x a) ( n 1)!
xn1
f (x)
f (a) f (a) (x a) f (a) (x a)2
E) n
1! 2!
n 1
f (a) x an f a (x a) (x a)n1
n! ( n 1)!
Makloren formulasini toping.
A) f ( x)
В
f (0)
f (0) x
1!
f (a)
f (0) x2
2!
f (a) 2
...
f n(0)
xn
n!
f n( a) n
f n 1 (x) ( n 1)!
f n 1 (x)
xn 1
n 1
) f (x)
f (a) x
1!
x ...
2!
n! x (n 1)! x
f (x)
f (0)
f (0) x
1!
f (0) x2
2!
...
f n(0)
xn
n!
f n 1 (x) ( n 1)!
xn 1
f (x)
f (0)
f (0) x
1
f (0) x2
2
...
f n(0)
xn
n
f n 1 (x) ( n 1)
xn 1
Do'stlaringiz bilan baham: |