Funksiya X to‘plamda aniqlangan bo‘lsin

y = f(x )

funksiya X to‘plamda aniqlangan bo‘lsin.

6- ta‘rif. Agar shunday o ‘zgarmas A/(o‘zgarmas m) son topilib,

istalgan x e X uchun f(x ) < M (f (x) > m) tengsizlik o‘rinli bo‘lsa,

/(x ) funksiya X to‘plamda yuqoridan (quyidan) chegaralangan

deyiladi, aks holda esa funksiya yuqoridan (quyidan) chegara￾lanmagan deyiladi

Son o'qidan

ixtiyoriy ikkita x, va x2 nuqta olamiz. Aniqlik uchun x, < x2 bo'lsin.

/(x 2)—/(x,) ayirmani qaraymiz:

f ix 2 ) - /(* !) = (x2 - x,) • (x22 + X2Xj + x,2 +1),

ikkinchi ko'paytuvchi x, va x2 ning har qanday haqiqiy qiymatida

musbat. Haqiqatan ham,

X 2 + X2X] + x2 +1 = (x, + ~ ) 2 + 2 x| + 1.
Shartga ko‘ra x2 — x,>0, u holda / (x^—f (x,)>0, ya'ni / (х2)>/(х,).

Bu oxirgi tengsizlik / (x) funksiyaning JR da qat‘iy o'suvchi ekanligini

bildiradi.

Monoton funksiyalar quyidagi xossalarga ega:

1. Ikkita o'suvchi (kamayuvchi) funksiyaning yig‘indisi yana

o'suvchi (kamayuvchi) funksiya bo'ladi.

2. Ikkita musbat o‘suvchi (kamayuvchi) funksiyalaming ko‘-

paytmasi yana o'suvchi (kamayuvchi) bo‘ladi.

3. Agar f(x ) funksiya o‘suvchi bo'lsa, —f ix ) funksiya kama￾yuvchi bo'ladi va aksincha.

4. Agar f(x ) funksiya o'suvchi bo'lib, istalgan x e X uchun

/( x )*0 bo'lsa, funksiya kamayuvchi bo'ladi

Teskari funksiyalar. /(x ) funksiya X to'plamda aniqlangan

bo'lib, funksiyaning o'zgarish (qiymatlari) sohasi Y bo'lsin.

11-ta‘rif. y = /( x ) funksiyaning har bir ye Y qiymatiga /

munosabatga ko'ra X dan faqat bitta x qiymat mos kelsa, У to'plamda

qandaydir funksiya aniqlangan bo'ladi va u у = /(x ) ga nisbatan

teskari funksiya deyiladi hamda x = /- l(_v) ko'rinishda belgilanadi.

Odatdagidek, funksiyani у bilan, argumentni esa x bilan belgi￾lashlarga muvofiq, y = f~ '(x ) ko'rinishda yozishadi. f -'( x )= g ( x )

desak, y = g ( x ) bo'ladi.

l-teorem a./(x) funksiya D if) to'plamda teskari g(x) fiinksiyaga

ega bo'lishi uchun o'z aniqlanish sohasidagi aigumentning har xil

qiymatiga funksiyaning ham har xil qiymati mos kelishi zarur va

yetarli, ya'ni V x,, x2 e D ( f ) lar uchun x, * x2 о /( x ,) * / ( x 2).