Funksiya limiti

Yetarliligi. funksiya uchun nuqtada Koshi sharti bajarilsin, yani son olinganda ham shunday son topiladiki, ning tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy qiymatlarida tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu holda funksiya da chekli limitga ega bo’lishini ko’rsatamiz.
nuqta to’plamning limit nuqtasiligi sababli bu to’plamning nuqtalaridan ga yaqinlqshuvchi ketma–ketlik tuzish mumkun bo’ladi. Ketma–ketlik limiti ta’rifiga ko’ra yuqorida olingan son uchun shunday son topiladiki, barcha lar va uchun va tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Bu tengsizliklarning bajarilishidan esa, shartga ko’ra

bo’ladi. Demak, fundamental ketma-ketlik. U yaqinlashuvchi. Biz ketma-ketlik limitini bilan belgilaylik, Endi to’plamning nuqtalaridan tuzilgan va ga intiluvchi ixtiyoriy ketma-ketlik olinganda ham funksiya qiymatlaridan tizilgan mos ketma-ketlik ham o’sha ga intilishini ko’rsatamiz.
Faraz qilaylik, da bo’lsin. va ketma-ketliklar hadlaridan ushbu

ketma-ketlik tuzaylik. Ravshanki, bu ketma-ketlik ga intiladi. U holda

ketma-ketlik fundamental bo’lib, chekli limitga ega. Bu limitni bilan belgilaylik. Agar va ketma-ketliklarning har biri ketma-ketlikning qismiy ketma-ketliklari ekanini hisobga olsak, u holda , bo’lishini topamiz.
Demak,

Shunday qilib, funksiya uchun nuqtada Koshi sharti bajarilishidan to’plam nuqtalaridan tuzilgan va ga intiluvchi har qanday ketma-ketlik olinganda ham mos ketma-ketlik bitta songa intilishini topdik. Bu esa funksiya limitining Geyne ta’tifiga ko’ra funksiya nuqtada chekli limitga ega bo’lishini bildiradi.►
8-eslatma. Koshi sharti va Koshi teoremasi bo’lgan hollarda ham yuqoridagiga o’xshash ifodalanadi va isbot etiladi.