Funksiya limiti

2º. Chekli limitga ega bo’lgan funksiyalar ustida arifmetik amallar.
to’plam berilgan bo’lib, uning limit nuqtasi bo’lsin. Bu to’plamda aniqlangan va funksiyalarni ko’raylik.
1). Agar da va funksiyalar limitga ega bo’lsa, funksiya ham limitga ega va

tenglik o’rinli bo’ladi.
2). Agar da va funksiyalar limitga ega bo’lsa, funksiya ham limitga ega va

tenglik o'rinli bo'ladi.
4–natija. Agar da funksiya limitga ega bo’lsa, unda funksiya ham limitga ega va

tenglik o'rinli bo'ladi.
3). Agar da va funksiyalar limitga ega bo’lib,
bo’lsa, funksiya ham limitga ega va

tenglik o‘rinli bo’ladi.
7–eslatma. 1) Yuqorida keltirilgan 1) – chi va 2) – chi xossalar qo’shiluvchilar va ko’paytuvchilar soni ixtiyoriy chekli bo’lgan holda ham o’rinli bo’lai.
2). da va funksiyalarning yig’indisi, ko’paytmasi va nisbatidan iborat bo’lgan funksiyalarning limitga ega bo’lishidan bu funksiyalarnig har birining limitga ega bo’lishi doim kelib chiqavermaydi. Masalan, funksiyalar yig’indisi bo’lib, da bo’ladi. Ammo da va funk-siyalarning har biri limitga ega emas.
4.19–misol. Quyidagi

limit hisoblansin.
◄ Sodda almashtirishlar yordamida topamiz:

Demak,
►


6–ma’ruza. Funksiya limitining mavjudligi haqidagi teoremalar

1º. Monoton funksiya limitining mavjudligi. to’plam berilgan bo’lib, (chekli yoki ) esa shu to’plamning limit nuqtasi va barcha lar uchun bo’lsin. Bu to’plamda aniqlangan funksiyani ko’raylik.
10–teorema. Agar funksiya to’plamda o’suvchi bo’lib, u yuqoridan chegaralangan bo’lsa, funksiya nuqtada chekli limitga ega, yuqoridan chegaralanmagan bo’lsa, uning limiti bo’ladi.
to’plam berilgan bo’lib, (chekli yoki ) esa shu to’plamning limit nuqtasi va barcha lar uchun bo’lsin. Bu to’plamda aniqlangan funksiyani ko’raylik.
11–teorema. Agar funksiya to’plamda kamayuvchi bo’lib, u quyidan chegaralangan bo’lsa, funksiya nuqtada chekli limitga ega, quyidan chegaralanmagan bo’lsa, uning limiti bo’ladi.
Bu teoremalar monoton ketma–ketlikning limiti mavjudligi haqidagi teoremalar kabi isbotlanadi.
2º. Koshi teoremasi. Endi funksiya limitining mavjudligi haqidagi umumiy teoremani keltiramiz.