Funksiya limiti

17–ta’rif (Geyne). Agar to’plamning nuqtalaridan tuzilgan va har bir hadi dan katta (kichik) bo’lib, ga intiluvchi har qanday ketma-ketlik olganimizda ham mos ketma–ketlik hamma vaqt yagona ga intilsa, shu ni funksiyaning nuqtadagi o’ng (chap) limiti deb ataladi.
18–ta’rif (Koshi). Agar son uchun shunday son topilsaki, argument ning tengsizliklarni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik bajarilsa, son funksiyaning nuqtadagi o’ng (chap) limiti deb ataladi.
Funksiyaning o’ng (chap) limiti quyidagicha belgilanadi:
yoki yoki .
Agar bo’lsa, o’rniga deb yoziladi.
Funksiyaning o’ng va chap limitlari, uning bir tomonli limitlari deyiladi.
4.16–misol. Ushbu

funksiyaning o’ng va chap limitlari topilsin.
◄ Har biri nolga intiluvchi ikkita
,

ketma–ketlikni olaylik. Bu ketma–ketliklar uchun

bo’ladi. Demak,
►
Endi da funksiya limiti tushunchasini keltiramiz.
to’plam berilgan bo’lib, uning limit “nuqta”si bo’lsin. Bu to’plamda funksiya aniqlangan deylik.
17′–ta’rif (Geyne). Agar to’plamning nuqtalaridan tuzilgan har qanday cheksiz katta (musbat cheksiz katta, manfiy cheksiz katta) ketma-ketlik olganimizda ham mos ketma–ketlik hamma vaqt yagona ga intilsa, shu ni funksiyaning dagi limiti deb ataladi.
18′–tarif (Koshi). Agar son uchun shunday son topilsaki, argument ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik bajarilsa, son funksiyaning dagi limiti deb ataladi. Funksiya limiti

kabi belgilanadi.
Biz funksiya limitining ikki hil, Geyne va Koshi ta’riflarini keltirdik. Ularning teng kuchliligini isbotlashni o’quvchiga qoldiramiz.
4.17–misol. Ushbu

tenglik isbotlansin.
◄ Ushbu

tengsizliklar o’rinli. Bu maktab matematikasidan ma’lum. Qaralayotgan oralik-da bo’lgani uchun bu tengsizliklarni

ko’rinishda yozilishi mumkin. Undan

tengsizliklar kelib chiqadi.
Biz tengsizliklarni ixtiyoriy uchun isbot qildik. Ushbu va funksiyaning juftligidan bu tengsizliklarning barcha uchun to’g’riligini topamiz. Shu bilan birga da tengsizlikning o’rinli bo’lishini e’tiborga olsak, yuqoridagi tengsizliklar quyidagi

ko’rinishga kelishini topamiz.
Agar son berilganda ham deb va sonlarning kichigi olinsa, argument ning tengsizliklarni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu esa funksiya limitining Koshi ta’rifiga ko’ra limitning to’g’riligini anglatadi.
4.18–misol. Quyidagi

tenglik isbotlansin (bunda ).
◄ Buning uchun ga intiluvchi ixtiyoriy ketma–ketlikni olaylik. Bu holda barcha lar uchun deb qarash mumkin. Har bir ning butun qismini orqali belgilab, ushbu ga intiluvchi natural sonlar ketma-ketligini hosil qilamiz.
Ma’lumki,
.
Bu munosabatdan

ekani kelib chiqadi.
Endi ushbu

munosabatlar o’rinli bo’lishini e’tiborga olib, topamiz:

Biroq


limitlar o’rinli bo’lgani uchun tengsizliklarda (bunda ) limitga o’tsak, izlangan limit kelib chiqadi.
Endi ga intiluvchi ixtiyoriy ketma–ketlikni olaylik. Bunda deb qarash mumkin. Agar deb belgilasak, unda va bo’ladi.
Ravshanki,

Undan
.
Shunday qilib, ga intiluvchi har qanday ketma–ketlik olinganda ham funksiya qiymatlaridan tuzilgan

ketma–ketlik hamma vaqt limitga ega ekani isbotlandi. Funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko’ra

limit ham o’rinli bo’ladi. ►
4º. Cheksiz kichik hamda cheksiz katta funksiyalar. Faraz qilaylik, va funksiyalar to’plamda berilgan bo’lib, shu to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.