Funksiya limiti

2º. Funksiya limitining ta’rifi. to’plam berilgan bo’lib, nuqta uning limit nuqtasi bo’lsin. Bu to’plamda funksiya aniqlangan deylik. Modomiki, nuqta ning limit nuqtasi ekan, to’plamning nuqtalaridan ga intiluvchi turli, ketma–ketliklar tuzish mumkin: . Ravshanki, . Shuning uchun bu nuqtalarda ham funksiya aniqlangan. Natijada ketma–ketlik bilan birga :

sonlar ketma–ketligiga ham ega bo’lamiz.
14–ta’rif. Agar to’plamning nuqtalaridan tuzilgan, ga intiluvchi har qanday ketma–ketlik olganimizda ham mos ketma-ketlik hamma vaqt yagona (chekli yoki cheksiz) limitga intilsa, shu ga funksiyaning nuqtadagi limiti deb ataladi. Funksdiya limiti kabi belgilanadi.
Funksiya limitiga berilgan bu ta’rifni Geyne ta’rifi deb ataladi.
Bazan ni ning dagi limiti deyiladi va
da
kabi belgilanadi.
Keltirilgan ta’rifning ushbu muhum tomoniga o’quvchining etiborini jalb qilaylik: ga intiluvchi har qanday ketma–ketlik uchun da ketma–ketlikning limiti olingan ketma–ketlikka bog’liq bo’lmasligi kerak.
4.12–misol. Ushbu

funksiyaning dagi limiti ga teng ekani ko’rsatilsin.
◄ Nolga intiluvchi ixtiyoriy ketma–ketlik olaylik: .
U holda funksiya qiymatlaridan iborat ketma–ketlik

bo’ladi. Ravshanki, da
.
Demak, ta’rifga ko’ra
. ►
4.13–misol. Quyidagi

funksiyaning dagi limiti mavjud emasligi ko’rsatilsin.
◄ Haqiqattan, nolga intiluvchi ikkita turli
ketma–ketlikni olaylik. Bunda

bo’lib,

bo’ladi. Bu esa funksiyaning dagi limiti mavjud emasligini ko’rsatadi.►
Funksiya limitini boshqacha ham ta’riflash mumkin.
15–ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, argu-ment ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida tengsizlik bajarilsa, son funksiyaning nuqtadagi limiti deb ataladi.
16–ta’rif. Agar son uchun shunday son topilsaki, argu-ment ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida bo’lsa, funksiyaning nuqtadagi limiti deyiladi.
Funksiya limitiga berilgan bu ta’rifni Koshi ta’rifi deb ataladi.
4.14–misol. Ushbu funksiyaning dagi limiti bo’lishi isbot qilinsin.
◄ son olaylik. Bu ga ko’ra ni deb olsak, u holda bo’lganda

tengsizlik bajariladi. Bundan, ta’rifga ko’ra

kelib chiqadi. ►
4.15–misol. Ushbu funksiya uchun da bo’lishi ko’rsatilsin.
◄ son uchun deb olinsa, u holda tengsiz-likning bajarilishidan

tengsizlik kelib chiqadi. Demak, . ►
3º. Funksiyaning bir tomonli limitlari. biror haqiqiy sonlar to’plami bo’lib, uning o’ng (chap) limit nuqtasi bo’lsin. Bu to’plamda funksiya aniqlangan deylik.