Funksiya limiti

4-BOB


FUNKSIYA LIMITI

Funksiya limiti (limitga o’tish amali) matematik analizning dastlabki muhim tushunchalaridan biri bo’lib, ayni paytda u keyinroq kiritiladigan asosiy tushunchalar uchun zamin bo’lib hizmat qiladi.

Funksiya limiti nazariyasini dastlab sodda hol – sonlar ketma–ketligi (natural argumentli funksiya) uchun o’rganamiz.
4–ma’ruza. Funksiyaning limiti

Biz yuqorida natural argumentli funksiya – sonlar ketma–ketligi va uning limitini o’rgandik. Endi argumenti haqiqiy son bo’lgan funksiya limitini qaraymiz. Avvalo sonli to’plamning limit nuqtasi tushunchasi bilan tanishamiz.

1 . To’plamning limit nuqtasi. Ma’lumki,

to’plam nuqtaning atrofi ( – atrofi) deb atalar edi. Shunga o’xshash ushbu

to’plam nuqtaning o’ng atrofi,

to’plam nuqtaning chap atrofi,

to’plamlar esa mos ravishda “nuqta” larning atrofi deb ataladi. Yuqorida keltirilgan va lar ixtiyoriy musbat haqiqiy sonlar.
biror sonli to’plam, biror nuqta bo’lsin.
11–ta’rif. Agar nuqtaning har bir atrofida to’plamning dan farqli kamida bitta nuqtasi mavjud, ya’ni

bo’lsa, nuqta to’plamning limit nuqtasi deyiladi.
Misollar qaraylik. 1). Ushbu to’plamning har bir nuqtasi shu to’plamning limit nuqtasi bo’ladi.
2). Ushbu to’plam limit nuqtaga ega emas.
3). Ushbu to’plamning har bir nuqtasi shu to’plamning limit nuqtasi bo’ladi va yana nuqtalar ham uchun limit nuqtalardir.
4). − segment hamda sonidan iborat to’plam bo’lsin, ya’ni . Bu to’plam uchun limit nuqta emas.
Agar nuqta to’plamning limit nuqtasi bo’lsa, to’plam nuqta-laridan ga intiluvchi ketma–ketlik tuzish mumkin.
◄To’plamning limit nuqtasi ta’rifiga binoan:
uchun
uchun ,
uchun ,

uchun ,

bo’ladi. Natijada ketma–ketlik hosil bo’lib, uchun

bo’ladi. Bundan

bo’lishi kelib chiqadi. ►
Bu mulohazalardan ko’rinadiki, ga intiluvchi ketma–ketliklarni ko’plab tuzish mumkin.
12–ta’rif. Agar nuqtaning har bir o’ng (chap) atrofida to’p- lamning dan farqli kamida bitta nuqtasi bo’lsa, nuqta ning o’ng (chap) limit nuqtasi deb ataladi.
13–ta’rif. Agar har bir atrofida to’plamning kamida bitta nuqtasi bo’lsa, “nuqta” to’plamning limit nuqtasi deyiladi.
Shuningdek, “nuqta” larning limit nuqta bo’lishi ham yuqoridagi singari ta’riflanadi.
Masalan, ”nuqta” to’plamning limit nuqtasi bo’ladi.