Funksional chiziqli funksional ta’rifi, asosiy xossalari chiziqli funksional normasi. Xan-Banax teoremasi

4.2Qo‘shma operatorlar.
X va Y - chiziqli normalangan fazolar, A : X Y chiziqli chegaralangan operator bo`lsin. f : X C funksionalning x nuqtadagi qiymatini (f; x) deb belgilaymiz.
-ta'rif. Agar biror A* : Y * X* chiziqli chegaralangan operator va barcha x X; g Y *lar uchun
(g, Ax) = (A*g; x) tenglik o`rinli bo`lsa, A*operator A ga qo`shma operator deyiladi.
Hilbert fazosida qo`shma operator quyidagicha ta'riflanadi.
ta'rif. H Hilbert fazosi va A L(H) operator berilgan bo`lsin. Agar biror A*: H H operator va ixtiyoriy x; y H lar uchun (Ax; y) = (x; A*y) tenglik o`rinli bo`lsa, A* operator A ga qo`shma operator deyiladi.
4.3Evklid fazosida qo‘shma operatorlar



4.4O‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar.
7.3-ta'rif. Agar A = A⁄ bo`lsa, A 2 L(H) o`z-o`ziga qo`shma operator
deyiladi.


4.5Gilbert-Shmidt teoremasi.




4.6Spektr va rezolventa.



5. Kompakt operator ta’rifi, misollar. Asosiy xossalari. Kompakt operatorning xos qiymatlari.
5.1. Kompakt operator tarifi,misollar
Bizga Banax fazosi va to‘plam berilgan bo‘lsin. Agar to‘plamdan olingan ixtiyoriy ketma-ketlikdan da yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo‘lsa, ga kompakt to‘plam deyiladi (). Agar to‘plamning yopig‘i kompakt to‘plam bo‘lsa, u holda nisbiy kompakt to‘plam deyiladi (). To‘plam nisbiy kompakt bo‘lishi uchun uning to‘la chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli . Chekli o‘lchamli fazolarda to‘plam kompakt bo‘lishi uchun ) uning chegaralangan va yopiq bo‘lishi zarur va yetarlidir.
1-ta’rif. Agar va bo‘lsa, u holda ga chekli o‘lchamli operator deyiladi. Agar bo‘lsa, u holda ga o‘lchamli operator deyiladi.
2-ta’rif.Bizga operator berilgan bo‘lsin. Agar operator dagi har qanday chegaralangan to‘plamni dagi nisbiy kompakt to‘plamga akslantirsa, u holda kompakt operator yoki to‘la uzluksiz operator deyiladi.
Chekli o‘lchamli fazolarda to‘plam kompakt bo‘lishi uchun uning chegaralangan va yopiq bo‘lishi yetarli va zarurdir. Demak, chekli o‘lchamli fazodagi har qanday chegaralangan to‘plam nisbiy kompaktdir va aksincha