Funkciya deferensiyaları esaptıń tiykarǵı teoremaları

Funkciya deferensiyaları esaptıń tiykarǵı teoremaları
Joba :
1. Orta baha haqqındaǵı teoremalar
2 Anıqmasliklarni ashıw. Lopital qaǵıydaları
3. Teylor formulası
4. Birpara elementar funksiyalar ushın Makloren formulası
Ádebiyatlar

Tiykarǵı hám ámeliy máselelerdi sheshiwde úlken áhmiyetke iye bolǵan funksiyalar klasslarınan (jıynaqlarınan ) biri-bul úzliksiz funksiyalar klası esaplanadı. Aldınǵı bapta biz differensiallanuvchi funksiyalar klası úzliksiz funksiyalar klasınıń bólegi bolıwın kórsetken edik. Differensiallanuvchi funksiyalar ayriqsha áhmiyetke iye, sebebi kóplegen qollanıwiy máselelerdi sheshiw tuwındı ámeldegi funksiyalardı úyreniwge keltiriledi. Bunday funksiyalar birpara ulıwma ózgesheliklerge iye. Bul ózgeshelikler ishinde orta baha haqqındaǵı teoremalar atı menen birlesken teoremalar bólek áhmiyetke iye. Bul teoremalar [a;b] kesindinde úyrenilip atırǵan funksiya ushın ol yamasa bul qasiyetke iye bolǵan [a;b] kesindine tiyisli s noqattıń bar ekenligin aytıp otedi.

1. Ferma teoremasi
Teorema. Eger f (x) funksiya (a, b) aralıqta anıqlanǵan hám qandayda bir ishki c noqatda eń úlken (eń kishi) mániske eriwse hám sol noqatda chekli f' (c) tuwındı ámeldegi bolsa, ol halda f' (c) =0 boladı.
Tastıyıq. f (c) funksiyanıń eń úlken ma`nisi bolsın, yaǵnıy x (a;b) de f (x) ≤ f (c) teńsizlik orınlı bolsın. Shártga kóre bul s noqatda chekli f' (c) tuwındı bar.
Ayqınki,
Biraq xs bolǵanda bolıwınan f' (c) =0 ekeni kelip shıǵadı.
Eń kishi baha holi soǵan uqsas tastıyıqlanadı.
Ferma teoremasi ápiwayı geometriyalıq mániske iye. Ol f (x) funksiya grafigiga (c;f (c)) noqatda ótkerilgen urınbanıń Ox oǵına paralell bolıwın ańlatadı

( 1 -súwret).

1- esletpe. Ishki s noqatda f' (s) =0 sonda da bul noqatda f (x) funksiya eń úlken (eń kishi) bahanı qabıl etpesligi múmkin. Mısalı, f (x) =2 x3-1, x (-1;1) de berilgen bolsın. Bul funksiya ushın f' (0) =0 boladı, lekin 19 -súwret
f (0) =-1 funksiyanıń (-1;1) dagi eń úlken yamasa eń kishi ma`nisi bolmaydı.

2. Roll teoremasi

Teorema (Roll teoremasi). Eger f (x) funksiya [a;b] kesindinde anıqlanǵan bolıp, tómendegi
1) [a;b] de úzliksiz;
2) (a;b) de differensiallanuvchi;
3) f (a) = f (b)
shártlerdi qánaatlantirsa, ol halda f' (c) =0 bolatuǵın keminde bir c (aTastıyıq. Ekenin aytıw kerek, eger f (x) funksiya [a;b] kesindinde úzliksiz bolsa, ol halda funksiya sol kesindinde óziniń eń úlken M hám eń kishi m bahalarına erisedi. Qaralayotgan f (x) funksiya ushın eki hal bolıwı múmkin.
1. M=m, bul halda [a, b] kesindinde f (x) =sonst hám f' (x) =0 boladı. Ayqınki, f' (s) =0 teńlemeni qánaatlantiradigan noqat retinde c (a;b) ni alıw múmkin.
2. M>m, bul halda teoremaning f (a) =f (b) shártidan funksiya M yamasa m mánislerinen keminde birin [a, b] kesindiniń ishki noqatında qabıllawı kelip shıǵadı. Anıqlıq ushın f (c) =m bolsın. Eń kishi bahanıń tariypiga kóre x[a, b] ushın f (x)  f (c) teńsizlik orınlı boladı.
Endi f' (c) =0 ekenligin kórsetemiz. Teoremaning ekinshi shártiga kóre f (x) funksiya (a;b) intervaldıń hár bir x noqatında chekli tuwındına iye. Bul shárt, atap aytqanda c noqat ushın da orınlı. Sonday eken, Ferma teoremasi shártleri atqarıladı. Bunnan f' (c) =0 ekenligi kelip shıǵadı.
f (c) =M bolǵan halda teorema joqarıdaǵı sıyaqlı tastıyıqlanadı.
Roll teoremasiga tómendegishe geometriyalıq talqin beriw múmkin

( 20 -súwret).

Eger [a, b] kesindinde úzliksiz, (a, b) intervalda differensiallanuvchi f (x) funksiya kesindi úshlerinde teń bahalar qabıl qilsa, ol halda f (x) funksiya grafigida abssissası x=c bolǵan sonday C noqat tabıladıki, sol noqatda funksiya grafigiga ótkerilgen urınba abssissalar oǵına parallel boladı.

Esletpe. Roll teoremasining shártleri yyetarli bolıp, zárúrli
shárt emes. Mısalı, 20 -súwret
1) f (x) =x3, x[-1:1] funksiya ushın teoremaning 3-shárti atqarılmaydı.
(f (-1) =-11=f (1)), lekin f' (0) =0 boladı.
2) funksiya ushın Roll teoremasining barlıq shártleri atqarılmaydı, lekin (-1;0) dıń qálegen noqatında f' (x) =0 boladı.
3. Lagranj teoremasi
Teorema (Lagranj teoremasi). Eger f (x) funksiya [a, b] kesindinde úzliksiz hám (a, b) de chekli f' (x) tuwındı ámeldegi bolsa, ol halda (a, b) de keminde bir sonday c noqat ámeldegi bolıp,
(1. 1)
teńlik orınlı boladı.
Tastıyıq. Tómendegi járdemshi funksiyanı tuzib alamız :
Bul F (x) funksiyanı [a, b] kesindinde úzliksiz hám (a, b) de tuwındına iye bolǵan f (x) hám x funksiyalardıń sızıqlı kombinatsiyası retinde qaraw múmkin. Bunnan F (x) funksiyanıń [a, b] kesindinde úzliksiz hám (a, b) de tuwındına iye ekenligi kelip shıǵadı. Sonıń menen birge
F (a) = F (b) =0,
sonday eken F (x) funksiya Roll teoremasining barlıq shártlerin qánaatlantıradı.
Sonday eken, Roll teoremasiga kóre (a, b) intervalda keminde bir sonday s noqat ámeldegi boladıki, F' (c) 0 boladı.
Sonday etip,
hám bunnan bolsa tastıyıq etiliwi kerek bolǵan (1) formula kelip shıǵadı. Teorema tastıyıq boldı.
(1. 1) formulanı geyde Lagranj formulası dep da júritiledi. Bul formula
f (b)-f (a) =f' (c) (b-a) (1. 2)
kóriniste de jazıladı.
Endi Lagranj teoremasining geometriyalıq mánisine toqtalamiz. f (x) funksiya Lagranj teoremasining shártlerin qánaatlantirsin deylik

(21-súwret).

Funksiya grafigining A (a;f (a)), B (b;f (b)) noqatlar arqalı kesetuǵın ótkeremiz, onıń múyesh koefficiyenti
boladı.
Tuwındınıń geometriyalıq mánisine qaray f' (c) - bul f (x) funksiya grafigiga onıń (s;f (s)) noqatında ótkerilgen urınbanıń múyesh koefficiyenti: tg=f' (c) Sonday eken, (1. 1) formula (a, b) intervalda keminde bir sonday c noqat bar ekenligin kórsetedi, f (x) funksiya grafigiga (c;f (c)) noqatda ótkerilgen urınba AB kesetuǵınǵa paralell boladı.
Tastıyıq etilgen (1. 1) formulanı basqasha kóriniste de jazıw múmkin. Onıń ushın aEger (1) formulada a=x0; b=x0+x almastırıwlar atqarsak, ol
f (x0+x)-f (x0) =f' (c) x (1. 3)
bul erda x0 Eger (1. 1) Lagranj formulasında f (a) =f (b) dep alsaq, Roll teoremasi kelip shıǵadı, yaǵnıy Roll teoremasi Lagranj teoremasining menshikli holi eken.
Mısal. Bul [0, 2] kesindinde f (x) =4 x3-5 x2+x-2 funksiya ushın Lagranj formulası daǵı c dıń ma`nisin tabıń.
Sheshiw. funksiyanıń kesindi úshlerindegi bahaların hám tuwındın esaplaymiz: f (0) =-2; f (2) =12; f' (x) =12 x2-10 x+1. Alınǵan nátiyjelerdi Lagranj formulasına qóyamız, nátiyjede
12-(-2) = ( 12 c2-10 c+1) (2-0) yamasa 6 c2-5 c-3=0 kvadrat teńlemeni payda etemiz. Bul teńlemeni sheshemiz: c1, 2=. Tabılǵan túbirlerden tek qaralayotgan kesindine tiyisli. Sonday eken, c= eken.
Lagranj teoremasi óz gezeginde tómendegi teoremaning menshikli holi boladı.
4. Koshi teoremasi
Teorema (Koshi teoremasi). Eger [a, b] kesindinde f (x) hám g (x) berilgen bolıp,
1) [a, b] de úzliksiz;
2) (a, b) intervalda f' (x) hám g' (x) ámeldegi, hám de g' (x) 0 bolsa, ol halda hesh bolmaǵanda bir sonday c (a(1. 4)
teńlik orınlı boladı.
Tastıyıq. Ayqınki, (1. 4) teńlik mániske ıyelewi ushın g (b) g (a) bolıwı kerek. Bul bolsa teoremadagi g' (x) 0, x (a;b) shártdan kelip shıǵadı. Haqıyqatlıqtan da, eger g (a) =g (b) bolsa, ol halda g (x) funksiya Roll teoremasining barlıq shártlerin qánaatlantirib, qandayda bir c (a;b) noqatda g' (c) =0 bo'lar edi. Bul bolsa x (a;b) de g' (x) 0 shártga zid bolıp tabıladı. Sonday eken, g (b) g (a).
Endi járdemshi
funksiyanı dúzeylik.
Shártga kóre f (x) hám g (x) funksiyalar [a, b] de úzliksiz hám (a, b) intervalda differensiyalanuvchi bolǵanı ushın F (x) birinshiden [a, b] kesindinde úzliksiz funksiyalardıń sızıqlı kombinatsiyası retinde úzliksiz, ekinshiden (a, b) intervalda
tuwındına iye.
Keyininen F (x) funksiyanıń x=a hám x=b noqatlar daǵı bahaların esaplaymiz: F (a) F (b) 0. Sonday eken, F (x) funksiya [a, b] kesindinde Roll teoremasiinng barlıq shártlerin qanoailantiradi. Sol sebepli hesh bolmaǵanda bir sonday c (aSonday etip,
hám bunnan (1. 4) teńliktiń orınlı ekeni kelip shıǵadı. Tastıyıq tugadi.
Tastıyıqlanǵan (1. 4) teńlik Koshi formulası dep da ataladı.
Endi Koshi teoremasining geometriyalıq mánisin anıqlaymız. Aytaylik x= (t), y=f (t), atb tegisliktegi sızıqtıń parametrik teńlemesi bolsın. Sonıń menen birge sızıqta t=a ga uyqas keliwshi noqattı A ( (a), f (a)), t=b ga uyqas keliwshi noqattı B ( (b), f (b)) sıyaqlı belgileylik.

(5-súwret).

Ol halda (1. 4) formulanıń shep bólegi AB vatarning múyesh koefficiyentin, ońı bolsa iymek sızıqqa parametrdiń t=c ma`nisine sáykes keletuǵın noqatında 22-súwret

ótkerilgen urınbanıń múyesh koefficiyentin ańlatadı. Sonday eken, Koshi formulası AB doǵanıń AB vatarga parallel bolǵan urınbasınıń bar ekenligin aytıp otedi eken.
Mısal. Bul f (x) =x2 hám  (x) = funksiyalar ushın [0, 4] kesindinde Koshi formulasın jazıń hám s ni tabıń.
Sheshiw. berilgen funksiyalardıń kesindi úshlerindegi bahaları hám tuwındıların tabamız : f (0) =0, f (4) =16,  (0) =0,  (4) =2; f' (x) =2 x, ' (x) =. Bulardan paydalanıp Koshi formulasın jazamız :, bunnan 4 s =8 yamasa s =2. Sonday eken s=.

2 Anıqmasliklarni ashıw. Lopital qaǵıydaları

Tiyisli funksiyalardıń tuwındıları ámeldegi bolǵanda,, 0, -, 1, 00, 0 kórinistegi anıqmasliklarni ashıw máselesi kiyim-kensheklesedi. Ádetde tuwındılardan paydalanıp, anıqmasliklarni ashıw Lopital qaǵıydaları dep ataladı. Biz tómende Lopital qaǵıydalarınıń bayanı menen shuǵıllanamız.

1. kórinistegi anıqmaslik. Ekenin aytıw kerek, x0 de f (x) 0 hám g (x) 0 bolsa, koefficient kórinistegi anıqmaslikni ańlatadı. Kóbinese xa de koefficienttiń limitini tabıwǵa qaraǵanda koefficienttiń limitini tabıw ańsat boladı. Bul koefficientler limitlarining teń bolıw shárti tómendegi teoremada kórsetilgen.

1-teorema. Eger

1) f (x) hám g (x) funksiyalar (a-;a)  (a;a+), bul erda >0, jıynaqta úzliksiz, differensiallanuvchi hám sol jıynaqtan alınǵan qálegen x ushın g (x) 0, g' (x) 0;
2) ;
3) tuwındılar qatnasınıń limiti (chekli yamasa sheksiz)
=A
ámeldegi bolsa, ol halda funksiyalar qatnasınıń limiti ámeldegi hám
= (2. 1)
teńlik orınlı boladı.
Tastıyıq. Hár eki funksiyanı x=a noqatda f (a) =0, g (a) =0 dep anıqlasaq, nátiyjede ekinshi shártga kóre f (x) =0=f (a), g (x) =0=g (a) teńlikler orınlı bolıp, f (x) hám g (x) funksiyalar x=a noqatda úzliksiz boladı.
Aldın x>a holni qaraymız. Berilgen f (x) hám g (x) funksiyalar [a;x], bul erda x(2. 2)
bolıwı kelip shıǵadı. Ayqınki, aSoǵan uqsas, xMısal. Bul limitni xisoblang.
Sheshiw. Bul halda bolıp, olar ushın 1- teoremaning barlıq shártleri atqarıladı.
Haqıyqattan da,
1),;
2) ;
3) boladı.
Sonday eken, 1-teoremaga qaray.
1-esletpe. Sonı atap ótiw kerek, berilgen funksiyalar qatnasınıń limiti 3) shárt atqarılmasa da ámeldegi bolıwı múmkin, yaǵnıy 3) shárt yyetarli bolıp, zárúrli emes.
Mısalı, funksiyalar (0;1] de 1), 2) shártlerdi qánaatlantıradı hám, lekin
joq, sebebi n de
n de bolsa. 2-teorema. Eger [c;+) nurda anıqlanǵan f (x) hám g (x) funksiyalar berilgen bolıp,
1) (c;+) de chekli f' (x) hám g' (x) tuwındılar ámeldegi hám g' (x) 0,
2) ;
3) tuwındılar qatnasınıń limiti ( chekli yamasa sheksiz) ámeldegi bolsa, ol halda funksiyalar qatnasınıń limiti ámeldegi hám
= (2. 3)
teńlik orınlı boladı.

Tastıyıq. Ulıwmalıqtı saqlaǵan halda, teoremadagi c sannı oń dep alıw múmkin. Tómendegi formula járdeminde x ózgeriwshin t ózgeriwshige almastıramız. Ol halda x+ de t0 boladı. Nátiyjede f (x) hám g (x) funksiyalar t ózgeriwshising hám funksiyaları bolıp, olar (0, ] de anıqlanǵan. Teoremadagi (2) shártga tiykarlanıp

boladı.
Bul,
munasábetlerden intervalda tuwındılardıń bar ekenligi kelip shıǵadı. Keyininen teoremaning 3) shártiga kóre
Sonday eken hám funksiyalarǵa 1-teoremani qóllaw múmkin. Bunda = itibarǵa alsaq, (2. 3) teńliktiń orınlılıǵı kelip shıǵadı. Teorema tastıyıq boldı.

2. kórinistegi anıqmaslik. Eger xa de f (x) , g (x)  bolsa, koefficient kórinisindegi anıqmaslikni ańlatadı. Endi bunday anıqmaslikni ashıwda da f (x) hám g (x) funksiyalardıń tuwındılarınan paydalanıw múmkinligin kórsetetuǵın teoremani keltiremiz.

3-teorema. Eger
1) f (x) hám g (x) funksiyalar (a;) nurda differensiallanuvchi, hám de g' (x) 0,
2)
3) ámeldegi bolsa,
ol halda ámeldegi hám = boladı.
Tastıyıq. Teorema shártiga kóre bar. Aytaylik = bolsın. Ol halda >0 sannı alsaq da sonday N>0 san tapılıp, xN bolǵanda
(2. 3)
teńsizlikler atqarıladı. Ulıwmalıqtı cheklamagan halda N>a dep alıwımız múmkin. Ol halda xN teńsizlikten x (a;) kelip shıǵadı.
Aytaylik x>N bolsın. Ol halda [N;x] kesindinde f (x) hám g (x) funksiyalarǵa Koshi teoremasini qollanıp tómendegine iye bolamız :, bul erda NEndi c>N bolǵanlıǵı sebepli x=c de (2. 3) teńsizlikler orınlı :, bunnan bolsa
teńsizliklerge iye bolamız.
Teorema shártiga kóre f (N) hám g (N) lar bolsa chekli sanlar. Usınıń sebepinen x dıń yyetarlicha úlken bahalarında bólshek kasrdan qálegenshe kem parıq etedi. Ol halda sonday M sanı tapılıp, xM larda
-< <+ (2. 4)
teńsizlik orınlı boladı.
Sonday etip, qálegen >0 san ushın sonday M sanı barki, barlıq xM larda (2. 4) teńlik orınlı boladı, bul bolsa = ekenligin ańlatadı. Teorema tastıyıq boldı.
Joqarıda tastıyıqlanǵan teorema xa (a-san) halda da orınlı. Bunı tastıyıqlaw ushın t= almastırıw orınlaw yyetarli.
Mısal. Bul limitni esaplań.
Sheshiw. f (x) =lnx, g (x) =x funksiyalar ushın 3-teorema shártlerin tekseremiz: 1) bul funksiyalar (0, +) de differensiallanuvchi; 2) f' (x) =1/x g' (x) =1; 3) =0, yaǵnıy bar. Sonday eken, ızlenip atırǵan limit da ámeldegi hám =0 teńlik orınlı.
3. Basqa kórinistegi anıqmasliklar. Ekenin aytıw kerek, bolǵanda f (x) g (x) ańlatpa 0 kórinisindegi anıqmaslik bolıp, onıń tómendegi
sıyaqlı jazıw arqalı yamasa kórinisindegi anıqmaslikka keltiriw múmkin. Sonıń menen birge, bolǵanda f (x)-g (x) ańlatpa - kórinisindegi anıqmaslik bolıp, onı da tómendeshe forma almastırıp
kórinistegi anıqmaslikka keltiriw múmkin.
Ekenin aytıw kerek, xa de f (x) funksiya 1, 0 hám  ga, g (x) funksiya bolsa uyqas ravshda , 0 hám 0 intilganda (f (x)) g (x) dárejeli-kórsetkishli ańlatpa 1, 00, 0 kórinisindegi anıqmasliklar edi. Bul kórinistegi anıqmasliklarni ashıw ushın aldın y= (f (x)) g (x) ni logarifmleymiz: lny= g (x) ln (f (x)). Bunda xa de g (x) ln (f (x)) ańlatpa 0 kórinistegi anıqmaslikni ańlatadı.
Sonday etip, funksiya tuwındıları járdeminde 0, -, 1, 00, 0, kórinistegi anıqmasliklarni ashıwda, olardı yamasa kórinisindegi anıqmaslikka keltirip, keyin joqarıdaǵı teoremalar qollanıladı.
2-esletpe. Eger f (x) hám g (x) funksiyalardıń f' (x) hám g' (x) tuwındıları da f (x) hám g (x) lar sıyaqlı joqarıda keltirilgen teoremalarning barlıq shártlerin qánaatlantirsa, ol halda
teńlikler orınlı boladı, yaǵnıy bul halda Lopital qaǵıydasın tákirar qollanıw múmkin boladı.
Mısal. Bul limitni esaplań.
Sheshiw. Ayqınki, x0 de ańlatpa 1 kórinistegi anıqmaslik boladı. Onı logarifmlab, anıqmaslikni ashıwǵa keltiremiz:

Sonday eken,.

Mısallar

1. Tómendegi limitlarni esaplań :
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f).
3. Teylor formulası
Teylor formulası matematikalıq analizning eń zárúrli formulalarınan biri bolıp, kóplegen teoriyalıq qollanıwlarǵa iye. Ol ámeliy esaptıń negizin quraydı.
1. Teylor kóp aǵzalıları. Peano kórinistegi qaldıq hadli Teylor formulası. Ekenin aytıw kerek, funksiyanıń bahaların esaplaw mánisinde kóp aǵzalılar eń ápiwayı funksiyalar esaplanadı. Usınıń sebepinen funksiyanıń x0 noqat daǵı ma`nisin esaplaw ushın onı sol noqat átirapında kóp aǵzalılar menen almastırıw mashqalası payda boladı.
Noqatda differensiallanuvchi funksiya tariypiga kóre eger y=f (x) funksiya x0 noqatda differensiallanuvchi bolsa, ol halda onıń sol noqat daǵı arttırıwın f (x0) =f' (x0) x+o (x), yaǵnıy
f (x) =f (x0) +f' (x0) (x-x0) +o (x-x0)
kóriniste jazıw múmkin.
Basqasha aytqanda x0 noqatda differensiallanuvchi y=f (x) funksiya ushın birinshi dárejeli
P1 (x) =f (x0) +b1 (x-x0) (3. 1)
kóp aǵzalılar ámeldegi bolıp, xx0 de f (x) =P1 (x) +o (x-x0) boladı. Sonıń menen birge, bul kóp aǵzalılar P1 (x0) =f (x0), P1' (x0) =b=f' (x0) shártlerdi de qánaatlantıradı.
Endi ulıwmalaw máseleni qaraylıq. Eger x=x0 noqattıń qandayda bir átirapında anıqlanǵan y=f (x) funksiya sol noqatda f' (x), f'' (x),.. ., f (n) (x) tuwındılarǵa iye bolsa, ol halda
f (x) =Pn (x) +o (x-x0) (3. 2)
shártni qánaatlantiradigan dárejesi n den úlken bolmaǵan Pn (x) kóp aǵzalılar barma?
Bunday kóp aǵzalılardı
Pn (x) =b0+b1 (x-x0) +b2 (x-x0) 2+... +bn (x-x0) n, (3. 3)
kóriniste izleymiz. Belgisiz bolǵan b0, b1, b2,.. ., bn koefficiyentlerdi tabıwda
Pn (x0) =f (x0), Pn' (x0) =f' (x0), Pn'' (x0) =f'' (x0),.. ., Pn (n) (x0) =f (n) (x0) (3. 4)
shártlerden paydalanamız. Aldın Pn (x) kóp aǵzalılardıń tuwındıların tabamız :
Pn' (x) =b1+2 b2 (x-x0) +3 b3 (x-x0) 2+... +nbn (x-x0) n-1,
Pn'' (x) =21 b2+32 b3 (x-x0) +... +n (n-1) bn (x-x0) n-2,
Pn''' (x) =321 b3+... +n (n-1)  (n-2) bn (x-x0) n-3,. .... .... .... .... .... .... .... .... .,
Pn (n) (x) =n (n-1)  (n-2) ... 21 bn.
Joqarıda alınǵan teńlikler hám (3. 3) teńliktiń hár eki tárepine x ornına x0 ni qoyıp barlıq b0, b1, b2,.. ., bn koefficiyentler bahaların tabamız :
Pn (x0) =f (x0) =b0,
Pn' (x0) =f' (x0) =b1,
Pn'' (x0) =f'' (x0) =21 b2=2! b2,. .... .... .... .... .... .... Pn (n) (x0) =f (n) (x0) =n (n-1) ... 21 bn=n! bn
Bulardan b0=f (x0), b1=f' (x0), b2= f'' (x0),.. ., bn= f (n) (x0) payda etemiz. Tabılǵan nátiyjelerdi (3. 3) qóyamız hám
Pn (x) = f (x0) + f' (x0) (x-x0) + f'' (x0) (x-x0) 2+... + f (n) (x0) (x-x0) n, (3. 5)
kóriniste kóp aǵzalılardı payda etemiz. Bul kóp aǵzalılar Teylor kóp aǵzalıları dep ataladı.
Teylor kóp aǵzalıları (3. 2) shártni qánaatlantirishini tastıyıqlaymız. Funksiya hám Teylor kóp aǵzalıları ayırmasın Rn (x) arqalı belgileymiz: Rn (x) =f (x)-Pn (x). (3. 4) shártlerden Rn (x0) =Rn' (x0) =... = Rn (n) (x0) =0 bolıwı kelip shıǵadı.
Endi Rn (x) =o ((x-x0) n), yaǵnıy =0 ekenligin kórsetemiz. Eger xx0 bolsa, ańlatpanıń 0/0 tipidagi anıqmaslik ekenligin kóriw qıyın emes. Oǵan Lopital qaǵıydasın n ret qollanıw etemiz. Ol halda
= =…= =
= = =0, sonday eken xx0 de Rn (x) =o ((x-x0) n) orınlı eken.
Sonday etip, tómendegi teorema tastıyıqlandi:
Teorema. Eger y=f (x) funksiya x0 noqattıń qandayda bir átirapında n ret differensiallanuvchi bolsa, ol halda xx0 de tómendegi formula
f (x) = f (x0) + f' (x0) (x-x0) + f'' (x0) (x-x0) 2+... + f (n) (x0) (x-x0) n+o ((x-x0) n) (3. 6 )
orınlı boladı, bul erda Rn (x) =o ((x-x0) n) Peano kórinisindegi qaldıq had.
Eger (3. 6 ) formulada x0=0 dep alsaq, Teylor formulasınıń menshikli holi payda boladı :
f (x) =f (0) + f' (0) x+ f'' (0) x2+... + f (n) (0) xn+o (xn). (3. 7)
Bul formula Makloren formulası dep ataladı.

2. Teylor formulasınıń Lagranj kórinistegi qaldıq hadi.

Teylor formulası Rn (x) qaldıq hadi jazılıwınıń túrli kórinisleri bar. Biz onıń Lagranj kórinisi menen tanısamız.
Qaralayotgan f (x) funksiya x0 noqat átirapında n+1 -tártipli tuwındına iye bolsın dep talap etemiz hám jańa g (x) = (x-x0) n+1 funksiyanı kiritemiz. Ayqınki,
g (x0) =g' (x0) =... = g (n) (x0) =0; g (n+1) (x0) = (n+1)! 0.
Bul Rn (x) =f (x)-Pn (x) hám g (x) = (x-x0) n+1 funksiyalarǵa Koshi teoremasini qollanıw etemiz. Bunda Rn (x0) = Rn' (x0) =... = Rn (n) (x0) =0 itibarǵa alıp, tómendegin tabamız :, bul erda c1 (x0;x); c2 (x0;c1);... ; cn (x0;cn-1);  (x0;cn)  (x0;x).
Sonday etip, biz ekenligin kórsetdik, bul erda  (x0;x). Endi g (x) = (x-x0) n+1, g (n+1) () = (n+1)!, Rn (n+1) () =f (n+1) () ekenligin itibarǵa alsaq tómendegi formulaǵa iye bolamız :
Rn (x) =,  (x0;x). (3. 8)
Bul (3. 8) formulanı Teylor formulasınıń Lagranj kórinisindegi qaldıq hadi dep ataladı.
Lagranj kórinistegi qaldıq hadni
Rn (x) = (3. 9 )
kóriniste de jazıw múmkin, bul erda  birdan kishi bolǵan oń san, yaǵnıy 0<<1.
Sonday etip, f (x) funksiyanıń Lagranj kórinisindegi qaldıq hadli Teylor formulası kuyidagi formada jazıladı :
f (x) =f (x0) + f' (x0) (x-x0) + f'' (x0) (x-x0) 2 +... + f (n) (x0) (x-x0) n +, bul erda  (x0;x).
Eger x0=0 bolsa, ol halda =x0+ (x-x0) =x, bul erda 0<<1, bolıwı ayqın, usınıń sebepinen Lagranj kórinisindegi qaldıq hadli Makloren formulası
f (x) =f (0) + f' (0) x+ f'' (0) x2+... + f (n) (0) xn+ (3. 10 )
formasında jazıladı.

3. Teylor formulasınıń Koshi kórinisindegi qaldıq hadi
Teylor formulası qaldıq hadining basqa kórinislerine mısal jol menende Koshi kórinisindegi qaldıq hadni keltiriw múmkin. Onıń ushın
járdemshi funksiyanı tuzib alamız hám [x0;x] segmentte úzliksiz, (x0;x) intervalda bolsa noldan ayrıqsha chekli tuwındına iye bolǵan qandayda bir  (t) funksiyanı alıp, bul funksiyalarǵa Koshi teoremasini qollasak,
(3. 11)
kórinistegi qaldıq hadni shıǵarıw múmkin.
Eger (3. 11) formulada  (t) funksiya retinde  (t) =x-t funksiya alınsa, nátiyjede Koshi formasındaǵı qaldıq hadni payda etemiz:
4. Birpara elementar funksiyalar ushın Makloren formulası

1. ex funksiya ushın Makloren formulası. f (x) =ex funksiyanıń (-;+) aralıqta barlıq tártipli tuwındıları ámeldegi: f (k) (x) =ex, k=1, 2,.. ., n+1. Bunnan x=0 de f (k) (0) =1, k=1, 2,.. ., n; f (n+1) (x) =ex hám f (0) =1 payda boladı. Alınǵan nátiyjelerdi (3. 10 ) formulaǵa qoyıp

(4. 1)

bul erda 0<<1, formulaǵa iye bolamız.
6-suwretde funksiya hám P3 (x) kóp aǵzalılar funksiyanıń grafikları keltirilgen.
Eger x=1 bolsa,
(4. 2)
formulaǵa iye bolamız. Bul formula járdeminde e sanınıń irratsionalligini tastıyıq qılıw múmkin.
Haqıyqattan da, shama menen oylayıq,- ratsional san bolsın. Bunda e>1 bolǵanlıǵı ushın p>q boladı. (4. 2) de desek,
Bul teńliktiń eki tárepin n! ga kópaytirsak tómendegi teńlikti payda etemiz:
(4. 3)
Bul erda n sannı r den úlken dep alıwımız múmkin. Ol halda <1, p>q bolǵanlıǵı ushın
(4. 4)
boladı. Sonıń menen birge, n>p>q bolǵanlıǵı ushın n! -pútkil san, sebebi n! de q ga teń bolǵan kópaytuvchi ushraydı.
Ayqınki,
kórinistegi jıyındı da pútkil san boladı. Sonday eken, n>p ushın (4. 3) teńliktiń shep tárepi oń pútkil san, ońı bolsa (4. 4) ga kóre birdan kishi oń san boladı. Bul kelip shıqqan qarama-qarsılıq e sanınıń ratsional san dep shama menen oylaishimizning nadurıs ekenligin kórsetedi. Sol sebepli e - irratsional san boladı.
2. Sinus funksiya ushın Makloren formulası.
f (x) =sinx funksiyanıń qálegen tártipli tuwındı ámeldegi hám n-tártipli tuwındı ushın tómendegi formula orınlı edi (I. 8-§):. x=0 de f (0) =0 hám
Sol sebepli (3. 10 ) formulaǵa kóre
(4. 5) kórinistegi yoyilmaga iye bolamız.

8-súwret
8-suwretde f (x) =sinx, P3 (x), P5 (x) funksiyalardıń grafikları keltirilgen.

3. Kosinus funksiya ushın Makloren formulası.

Ekenin aytıw kerek, f (x) =cosx funksiyanıń n-tártipli tuwındı ushın formulaǵa egamiz (I. 8-§).
x=0 de f (0) =1 hám
Sonday eken, sosx funksiya ushın tómendegi formula orınlı :
(4. 6 )

8-súwret
8-suwretde f (x) =cosx, P2 (x), P4 (x) funksiyalardıń grafikları keltirilgen.

4. f (x) = (1+x)  (R) funksiya ushın Makloren formulası. Bul funksiya (-1;1) intervalda anıqlanǵan hám sheksiz ret differensiallanuvchi. Onı Makloren formulasına jayıw ushın f (x) = (1+x)  funksiyadan izbe-iz tuwındılar alamız :, ,. (4. 7)

Ayqınki, f (0) =1, f (n) (0) = (-1)... (-n+1). Sol sebepli f (x) = (1+x)  funksiyanıń Makloren formulası tómendegishe jazıladı :
(4. 8)
0<<1.
5. f (x) =ln (1+x) funksiya ushın Makloren formulası.
Bul funksiyanıń (-1;) intervalda anıqlanǵan hám qálegen tártipli tuwındı bar. Haqıyqattan da, funksiyasına (4. 7) formulanı qollap, ol jaǵdayda =-1 dep n ni n-1 menen almastırsak, formulanı payda etemiz. Ayqınki, f (0) =0, f (n) (0) = (-1) n-1 (n-1)! Sonı itibarǵa alıp, berilgen funksiyanıń Makloren formulasın jazamız :
(4. 9 )
Joqarıda keltirilgen tiykarǵı elementar funksiyalardıń Makloren formulaları basqa funksiyalardı Teylor formulasına jayıwda paydalanıladı. Soǵan tiyisli mısallar kóremiz.
1-mısal. Bul f (x) =e-3 x funksiya ushın Makloren formulasın jazıń.
Sheshiw. Bul funksiyanıń Makloren formulasın jazıw ushın f (0), f' (0),.. ., f (n) (0) larni tawıp, (3. 10 ) formuladan paydalanıw múmkin edi. Lekin f (x) =ex funksiyanıń yoyilmasidan paydalanıw da múmkin. Onıń ushın (4. 1) formula daǵı x ni -3 x ga almastıramız, nátiyjede, 0<<1,
formulaǵa iye bolamız.
2-mısal. Bul f (x) =lnx funksiyanı x0=1 noqat átirapında Teylor formulasın jazıń.
Sheshiw. Berilgen funksiyanı Teylor formulasına jayıw ushın f (x) =ln (1+x) funksiya ushın alınǵan (4. 9 ) tiykarǵı yoyilmadan paydalanamız. Ol jaǵdayda x ni x-1 ge almastıramız, nátiyjede lnx=ln ((x-1) +1) hám
lnx=, 0<  <1
formulaǵa iye bolamız. Bul formula x-1>-1 bolǵanda, yaǵnıy x>0 larda orınlı.

6. Teylor formulası járdeminde ámeliy esaplaw
Makloren formulası Lagranj kórinistegi qaldıq hadini bahalaw máselesin qaraylıq.
Shama menen oylayıq, sonday ózgermeytuǵın M san ámeldegi bolsınki, argument x dıń x0=0 noqat átirapındaǵı barlıq bahalarında hám de n dıń barlıq bahalarında| f (n) (x)| M teńsizlik orınlı bolsın. Ol halda| Rn (x)| =|| M
teńsizlik orınlı boladı. Argument x dıń tayın ma`nisinde =0 teńlik orınlı, sonday eken n dıń yyetarlicha úlken bahalarında Rn (x) yyetarlicha kishi bo'lar eken.
Sonday etip, x0=0 noqat átirapında f (x) funksiyanı
f (0) + f' (0) x+ f'' (0) x2+... + f (n) (0) xn
kóp aǵzalılar menen almastırıw múmkin. Nátiyjede funksiyanıń x noqat daǵı ma`nisi ushın
f (x)  f (0) + f' (0) x+ f'' (0) x2+... + f (n) (0) xn
ámeliy formula kelip shıǵadı. Bul formula járdeminde orınlanǵan ámeliy esaplaw daǵı qátelik| Rn (x)| ga teń boladı.
1-mısal. e0, 1 ni 0, 001 anıqlıqta esaplań.
Sheshiw. ex funksiyanıń Makloren formulasınan paydalanamız. (4. 1) formulada x=0, 01 dep alsaq, ol halda, másele shártiga kóre qátelik 0, 001 den úlken bolmawi kerek, sonday eken
Rn (x) = <0, 001 teńsizlik orınlı bolatuǵın birinshi n ni tabıw yyetarli. e0, 1 <2 ekenligin itibarǵa alsaq, sońǵı teńsizlikti tómendegishe jazıp alıw múmkin:. Endi n=1, 2, 3,... bahalardı sońǵı teńsizlikke qoyıp tekseremiz jáne bul teńsizlik n=3 ten baslap orınlanıwın tabamız. Sonday etip, 0, 001 anıqlıqta. Menshikli halda, n=1 bolǵanda
f (x) f (x0) +f' (x0) (x-x0) ámeliy esaplaw formulası R2 (x) =  (x-x0) 2, x0<2-mısal. Differensial járdeminde radiusı r=1, 01 bolǵan sheńber júzin tabıń. Esaplaw qateligin bahalań.
Sheshiw. Sheńber júzi S=r2 ge teń. Bunda r0=1, r=0, 01 dep alamız hám S=S (r) funksiya arttırıwın onıń differensiali menen almastıramız :
S (r)  S (r0) +dS (r0) = S (r0) + S' (r0) r.
Nátiyjede
S (1, 01)  S (1) +dS (1) = S (1) + S' (1) 0, 01=12+20, 01=1, 02 payda boladı.
Bunda esaplaw qateligi
R2 (r) =  (r-r0) 2, r0< 3-mısal. Bul f (x) = funksiyanıń x=0, 03 noqat daǵı ma`nisin differensial járdeminde esaplań. Qátelikti bahalań.
Sheshiw. Ámeliy esaplaw formulası f (x) f (x0) +f' (x0) (x-x0) de x0=0, x=0, 03 bahalardı qóysaq, f (0, 03) f (0) +f' (0) 0, 03 bolıp, qátelik
R2= x2= 0, 032, 0<<0, 03 boladı.
Berilgen funksiya tuwındıların hám noqat daǵı bahaların esaplamız : f' (x) = (2 x-1), bunnan f' (0) =-1, f'' (x) =2 + (2 x-1) 2 = = (4 x2-4 x+3), bunnan f'' () <3. Alınǵan nátiyjelerden paydalanıp, f (0, 03) 1+ (-1) 0, 03=0, 97 hám R2< 0, 032=0, 0017 ekenligin tabamız.
Teylor formulası funksiyalardı ekstremumǵa tekseriwde, qatarlar teoriyasında, integrallardı esaplawlarda da keń qollanıwqa iye.

Ádebiyatlar

1. Azlarov. T., Mansurov. X., Matematikalıq analiz. T.: «Ózbekstan». 1 t: 1994, 2 t. 1995
2. Toshmetov O'. Matematikalıq analiz. Matematikalıq analizga kirisiw. T., TDPU. 2005 y.
3. Hikmetov A. G'., Turdiyev T. «Matematikalıq analiz», T. 1-bólim. 1990 y.
4. Sa'dullayev A. hám basqalar. Matematikalıq analiz stul mısal hám máseleler kompleksi. T., «Ózbekstan». 1-q. 1993., 2-q. 1995.
5. vavilov v. v. i dr. Zadachi po matematikalıqe. Nachala analiza. M. Nauka., 1990.-608 s.
6. www. zıyanet. uz