Функционал ва даражали қаторлар

Функционал ва даражали қаторлар.
Бирор

катор берилган бўлсин.

1. 
   теорема. Агар катор якинлашувчи бўлса, унинг исталган
   

(2)

Колдиғи ҳам якинлашувчи бўлади ва аксинча колдик катор якинлашчи бўлса, берилган (1) катор ҳам якинлашувчи бўлади.

Исбот. катор берилган бўлсин. Бирор натурал сонни тайинлаб , қаторнинг қисмий йиғиндиси билан белгилайлик:

Равшанки, ,

бўлади , берилган қаторнинг қисмий йиғиндиси.

қатор яқинлашувчи бўлсин. Таърифга кўра

бўлади. тенгликда лимитга ўтиб топамиз:

Бу эса қаторнинг яқинлашувчи эканини билдиради.

Энди қатор яқинлашувчи бўлсин. У холда таърифга кўра

)

Бўлади . (4) тенгликда да лимитга ўтсак, у холда

булиши келиб чикади.

Бу эса (1) қаторнинг яқнлашувчи эканлигини билдиради. Теарема исбот бўлди. Шундаи килиб, каторнинг дастлабки чекли сондаги хадларини таш-лаб юбориш еки каторнинг бошига чекли сондаги янги хадларни кушиш унинг якинлашувчилиги характерига таъсир килмайди.

1-натижа. Агар (1) катор якинлашучи булса, унинг колдиги

m→∞ да нолга интилади.

Хакикатан хам, (1) катор якинлашувчи булиб, унинг йигиндиси А булсин ,бу холда

, булиб, булади.

2- теорема. Агар (1) катор якинлашувчи булиб, унинг игиндиси А га тенг булса, у холда

катор хам якинлашувчи ва унинг иигиндиси сА га

тенг булади (с≠0 – га боглик булмаган узгармас сон).

Исбот. (5) каторнинг кисмии иигиндисини

Булиб ,ундан булиши келиб чикади .

Бу эса (5) каторнинг якинлашувчи булишини ва унинг иигиндиси га тенг эканини билдиради. Теорема исботланди.

Бу теорема якинлашувчи каторларда. Ушбу

3-теорема. Агар

:каторлар якинлашувчи булиб, уларнинг иигиндиси мос равишда А ва В га тенг булса, у холда

катор хам якинлашувчи ва унинг иигиндиси А+В га тенг булади.

Исбот. ва каторлар якинлашувчи . Демак, бу каторларнинг кисмии йигиндилари (А_п ва В_п лар) учун , тенгликлар уринли булади. (6) каторнинг кисмии иигиндисини Билан белгилаб топамиз:



_.Бундан Кеиинги тенгликдан теоремнинг исботи келиб чикади.

2 – натижа Агар ва каторлар якинлашувчи булса , у холда

катор хам якинлашувчи ва

тенглик уринли булади (бунда га боглик булмаган узгармас сонлар ).

4- теорема. Агар (1) катор якинлашувчи булса, бу каторнинг умумии хади n→∞ да нолга интилади.

Исбот. (1) катор якинлашувчи булсин , яъни . Агар булишини этиборга олсак , у холда

булишини топамиз. Теорема исботланди .

Теоремадаги тасдикнинг акси , умуман айтганда, уринли эмас. Бошкача айтганда бирор каторнинг умумии хади n→∞ да нолга интилишидан унинг якинлашувчи булиши хар доим келиб чикавермайди.

Шундаи килиб,юкорида келтирилган 4- теорема катор якинлашувчи булишининг зарурии шартини ифодалайди.

Каторлар тузилишига кура умуман куйидагича булади:

1. 
   барча хадларининг ишоралари манфий булмаган каторлар :
   
2. 
   бирор хадидан бошлаб, кейинги барча хадларининг ишоралари манфий булмаган каторлар;
   
3. 
   Барча хадларининг ишоралари манфий сон еки бирор хадидан бошлаб кейинги барча хадларининг ишоралари манфий булган каторлар ;
   
4. 
   Чексиз куп манфий ишорали ва чексиз куп мусбат ишорали хадлари булган каторлар .
   

2) ва 3) холлардаги каторларнинг якинлашувчи еки узоклашувчилигини урганиш юкорида келтирилган 1-теорема ва 2-теоремаларга кура 1) холдаги каторларни урганишга келади..