Функции многих переменных. Полный дифференциал. Полные дифференциалы и производные высших порядков

На Тему: Функции многих переменных. Полный дифференциал. Полные дифференциалы и производные высших порядков

План:

1. 
   Частной производной по 
   
2. 
   полным приращением функции и определяется формулой
   
3. 
   Линейная (относительно  и  ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается 
   

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению  , когда последнее стремится к нулю:
.

Частной производной по  от функции  называется предел отношения частного приращения этой функции  по  к приращению  , когда последнее стремится к нулю:
.

Пусть задана функция  . Если аргументу  сообщить приращение  , а аргументу  – приращение  , то функция  получит приращение  , которое называется полным приращением функции и определяется формулой:  .

Функция  , полное приращение  которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно  и  , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно  ):
,
где  и  стремятся к нулю, когда  и  стремятся к нулю (т.е. когда  ), называется дифференцируемой в данной точке.

Линейная (относительно  и  ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается  :

,
где  и  – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям  и  .

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных  их четыре:

Примеры решения задач
Пример 1. Найти полный дифференциал функции  .
Решение.
Полным дифференциалом  функции  называется линейная (относительно  и  ) часть полного приращения функции:  .
Следовательно, для выполнения задания достаточно найти частные производные первого порядка от функции и подставить их в вышеприведенную формулу.

Здесь и ниже использовалось правило дифференцирования произведения двух функций и правило дифференцирования сложной функции одной переменной.

Ответ: