Фундаментал ечимлар системаси. Режа: Чизиқли алгебраик тенгламалар системаси Кронекер-Копелли теоремаси

1	2	3
1	5	12	7	2000
2	10	6	8	1660
3	9	11	4	2070

Берилган хом ашё заҳирасини ишлатиб, маҳсулот турлари бўйича ишлаб чиқариш ҳажмини аниқланг.

Ечиш: Ишлаб чиқарилиши керак бўлган маҳсулотлар ҳажмини мос равишда лар билан белгилаймиз. 1-тур маҳсулотга, 1-хил хом ашё, биттаси учун сарфи 5 бирлик бўлганлиги учун 5 1-тур маҳсулот ишлаб чиқариш учун кетган 1-хил хом ашёнинг сарфини билдиради. Худди шундай 2,3-тур маҳсулотларни ишлаб чиқариш учун кетган 1-хил хом ашё сарфлари мос равишда 12 , 7 бўлиб, унинг учун қуйидаги тенглама ўринли бўлади: 5 + 12 + 7 =2000. Юқоридагига ўхшаш 2,3-хил хом ашёлар учун


тенгламалар ҳосил бўлади. Демак, масала шартларида қуйидаги уч номағлумли учта чизиқли тенгламалар системасини ҳосил қиламиз:
5 + 12 + 7 =2000 ,

.
Бу масаланинг математик модели уч номаълумли учта чизиқли тенгламалар системасидан иборат бўлди. Бу масала тенгламалар системасининг ечимини топиш билан ечилади. Бундай тенгламалар системасини ечишни умумий ҳолда қараймиз.

2.Чизиқли тенгламалар системасини матритцалар ёрдамида ечиш энди матритцалар ёрдамида чизиқли тенгламалар системасини ечишга ўтамиз.

(7)


номаълумли, та тенгламалар системаси берилган бўлсин.

белгилашларни киритамиз. Энди (7) системани матритцаларни кўпайтириш қоидасидан фойдаланиб,

(8)

кўринишда ёзиш мумкин. бўлса, тескари матритца мавжуд ва ҳосил бўлади. Шундай қилиб, номаълум матритца матритцага тенг бўлади, яъни

= .
Бу (7) тенгламалар системасини ечишнинг матритцавий ёзувини билдиради.
1-мисол. матритцалар ёрдамида ушбу тенгламалар системасини ечинг:
.
Ечиш. Қуйидаги белгилашларни киритамиз:



Бу матритцалар ёрдамида берилган тенгламалар системасини


(9)
кўринишда ёзамиз. Энди матритцанинг детерминантини ҳисоблаймиз.
.
матритцанинг детерминанти 0 дан фарқли бўлганлиги учун, унга тескари ягона матритца мавжуд ва тенгламалар системаси ягона ечимга эга бўлади. Энди тескари матритцани топиш учун детерминант элементларининг ҳамма алгебраик тўлдирувчиларини ҳисоблаймиз:

Тескари матритцани топиш формуласига асосан,

(9) тенгликнинг икки томонини чапдан га кўпайтирсак, ёки бўлиб, яъни

Тенглик ҳосил бўлади.
Шундай қилиб, ёки .
(Топилган ечимларни тенгламалар системасига бевосита қўйиб, ечимнинг тўғрилигини текшириб кўриш мумкин).