Functions, Limits and Differentiation

1

cos bt + B

1

sin bt, y(t) =

A

2

cos bt + B

2

sin bt.

The trajectories are concentric circles about the origin, the origin is

called a center and is a stable one. Example:

dx

dt

= −by,

dy

dt

= bx.

56

5

Appendix A

5.1

Trigonometric functions

5.1.1

D

efinitions

• Conversion of rads to

o

and vice versa: 1

o

=

π

180

rad & 1 rad =

¡

180

π

¢

o

• Arc length: θ =

s

r

⇒ s = θ ∗ r (θ measured in rads)

• Area of a sector: A =

1

2

r

2

∗ θ (θ measured in rads)

• Trigonometric functions (defined for a positive acute angle θ of a right

triangle)

sin θ =

side opp osite θ

hyp otenuse

=

y

r

cos θ =

side adjacent to θ

hyp otenuse

=

x

r

tan θ =

side opp osite θ

side adjacent to θ

=

y

x

cot θ =

side adjacent to θ

side opp osite θ

=

x

y

sec θ =

hyp otenuse

side adjacent to θ

=

r

x

csc θ =

hyp otenuse

side opp osite θ

=

r

y

5.1.2

Relationships:

csc θ =

1

sin θ

sec ∂ =

1

cos θ

cot θ =

1

tan θ

tan θ =

sin θ

cos θ

cot θ =

cos θ

sin θ

5.1.3

Trigonometric identities

sin

2

θ + cos

2

θ = 1

tan

2

θ + 1 = sec

2

θ

1 + cot

2

θ = csc

2

θ

sin(π − θ) = sin θ

cos(π − θ) = − cos θ

tan(π − θ) = − tan θ

cot(π − θ) = − cot θ

sin(π + θ) = − sin θ

cos(π + θ) = − cos θ

tan(π + θ) = tan θ

cot(π + θ) = cot θ

sin(−θ) = − sin θ

cos(−θ) = cos θ

tan(−θ) = − tan θ

cot(−θ) = − cot θ

sin(

π

2

− θ) = cos θ

cos(

π

2

− θ) = sin θ

tan(

π

2

− θ) = cot θ

sin θ = sin(θ ± 2nπ), n = 0, 1, 2, · · ·

cos θ = cos(θ ± 2nπ), n = 0, 1, 2, · · ·

tan θ = tan(θ ± nπ), n = 0, 1, 2, · · ·

57

5.1.4

Law of cosines

If the sides of a triangle have lengths a, b, and c and if θ is the angle between

the sides with lengths a and b, then

c

2

= a

2

+ b

2

− 2ab cos θ

5.1.5

Formulas

• Addition formulas:

sin(a + b) =

sin a cos b + cos a sin b

cos(a + b) =

cos a cos b − sin a sin b

sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b

tan(a + b) =

tan a+tan b

1

−tan a tan b

tan(a − b) =

tan a

−tan b

1+tan a tan b

• Double-angle formulas:

sin 2a =

2 sin a cos a

cos 2a =

cos

2

a − sin

2

a

=

2 cos

2

a − 1

=

1 − 2 sin

2

a

tan 2a =

2 tan a

1

−tan

2

a

• Half-angle formulas:

cos

2 a

2

=

1+cos a

2

sin

2 a

2

=

1

−cos a

2

• Product-to-sum formulas:

sin a cos b =

1

2

[sin(a − b) + sin (a + b)]

sin a sin b =

1

2

[cos(a − b) + cos (a + b)]

cos a cos b =

1

2

[cos(a − b) + cos (a + b)]

• Sum-to-product formulas:

sin a + sin b =

2 sin

a+b

2

cos

a

−b

2

sin a − sin b =

2 cos

a+b

2

sin

a

−b

2

cos a + cos b =

2 cos

a+b

2

cos

a

−b

2

cos a − cos b = −2 sin

a+b

2

sin

a

−b

2

5.1.6

Amplitude and period

• Periodic function: f(x+p) = f(p), p Â 0. The smallest value of p is called

the fundamental period of f.

• The functions a sin bx and a cos bx have fundamental period 2π/ |b| and

their graphs oscillate between −a and a. The number | a |

58

is called the amplitude of a sin bx and a cos bx.The function tan bx has fun-

damental period π/ |b| .

5.2

Inverse trigonometric functions

The basic trigonometric functions are periodic, thus they can not have inverses,

but if we impose restrictions on their domains, we can have their inverses.

• Inverse sine: For each x in the interval [−1, 1], we define arcsin x to be

that number y in the interval

£

−

π

2

,

π

2

¤

, such that sin y = x.

arcsin(sin x) = x

x ∈

£

−

π

2

,

π

2

¤

sin(arcsin x) = x

x ∈ [−1, 1]

• Inverse cosine: For each x in the interval [−1, 1], we define arccos x to be

that number y in the interval [0, π] , such that cos y = x.

arccos(sin x) = x

x ∈ [0, π]

cos(arccos x) = x

x ∈ [−1, 1]

• Inverse tangent: For each x in the interval (−∞, +∞), we define arctan x

to be that number y in the interval

£

−

π

2

,

π

2

¤

, such that tan y = x.

arctan(tan x) = x

x ∈

£

−

π

2

,

π

2

¤

tan(arctan x) = x

x ∈ (−∞, +∞)

• Inverse cesant: For each x in the set (−∞, −1] + ∪[1, +∞), we define

arcsec x to be that number y in the set

£

0,

π

2

¤

∪

£

π,

3π

2

¤

such that sec y = x.

arcsec(sec x) = x

x ∈

£

0,

π

2

¤

∪

£

π,

3π

2

¤

sec(arcsec x) = x

x ∈ (−∞, −1] + ∪[1, +∞)

• The inverse cotangent and cosecant are of lesser importance.

5.2.1

Derivatives

d

dx

[arcsin(x)] =

1

2

√

1

−x

2

d

dx

[arccos(x)] =

−

1

2

√

1

−x

2

d

dx

[arctan(x)] =

1

1+x

2

d

dx

[arccot (x)] =

−

1

1+x

2

d

dx

[arcsec (x)] =

1

x

2

√

x

2

−1

d

dx

[arccsc (x)] =

−

1

x

2

√

x

2

−1

59

5.3

Exponentials

• f(x) = b

x

, b Â 0

• If b Â 1 then f(x) is an increasing function, while if 0 ≺ b ≺ 1 is a

decreasing and a constant one if b = 1 .

5.4

Logarithms

• f(x) = log

b

x, b Â 0, b 6= 1, x Â 0, represents that power to which b must

be raised in order to produce x.

• Properties of the logarithmic function

log

b

ln 1 = 0

log

b

ac = log

b

a + log

b

c

log

b

a

c

= log

b

a − log

b

c

log

b

a

r

= r log

b

a

log

b

1

c

= − log

b

c

log

b

b = 1

• Common logarithms: the ones that have base 10.

• Natural logarithms:the ones that have base e (e = lim

x

→+∞

¡

1 +

1

x

¢

x

⇐⇒

e = lim

x

→0

(1 + x)

1

x

).

• Properties of the natural logarithm

—

ln 1 = 0

ln ac = ln a + ln c

ln

a

c

= ln a − ln c ln a

r

= r ln a

ln

1

c

= − ln c

5.5

Hyperbolic functions

Hyperbolic functions are certain combinations of e

x

and e

−x

.They have many

applications in engineering and many properties in common with the trigono-

metric functions.

5.5.1

Definitions

hyperbolic sine

sinh x =

e

x

−e

−x

2

hyperbolic cosine

cos hx =

e

x

+e

−x

2

hyperbolic tangent

tanh x =

sinh x

cos hx

e

x

−e

−x

e

x

+e

−x

hyperbolic cotangent

coth x =

cosh x

sinh x

e

x

+e

−x

e

x

−e

−x

hyperbolic cesant

sec hx =

1

cosh x

2

e

x

+e

−x

hyperbolic cosecant

csc hx =

1

sinh x

2

e

x

−e

−x

60

5.5.2

Hyperbolic identities

cosh

2

x − sinh

2

x = 1

1 − tanh

2

x = sec h

2

x

coth

2

x − 1 = csc h

2

x

5.5.3

Why are they called hyperbolic?

For any real number t, the point (cosh t, sinh t) lies on the curve x

2

− y

2

= 1

(this curve is called hyperbola) because cosh

2

t − sinh

2

t = 1

5.5.4

Derivatives

d

dx

[sinh x] =

cosh x

d

dx

[cosh x] =

sinh x

d

dx

[tanh x] =

sec h

2

x

d

dx

[coth x] =

− csc h

2

x

d

dx

[sec hx] =

− sec hx tanh x

d

dx

[csc hx] =

− csc hx coth x

5.6

Inverse hyperbolic functions

They are particularly useful in integration.

5.6.1

Definitions

y = arcsin hx ⇐⇒

x = sinh y

for all x, y

y = arccos hx ⇐⇒ x = cosh y

x º 1, y º 0

y = arctan hx ⇐⇒ x = tanh y −1 ≺ x ≺ 1, and − ∞ ≺ x ≺ +∞

y = arccot hx ⇐⇒ x = coth y

| x | 1, y 6= 0

y = arcsec hx ⇐⇒

x = sec hy

0 ≺ x ¹ 1, y º 0

y = arccsc hx ⇐⇒

x = csc hy

x 6= 0, y 6= 0

5.6.2

Formulas

arcsin hx =

ln(x +

2

√

x

2

+ 1)

−∞ ≺ x ≺ ∞

arccos hx =

ln(x +

2

p

x

2

− 1) x º 1

arctan hx =

1

2

ln

1+x

1

−x

−1 ≺ x ≺ 1

arccot hx =

1

2

ln

x+1

x

−1

|x| Â 1

arcsec hx =

ln(

1+

2

√

1

−x

2

x

)

0 ≺ x ¹ 1

arccsc hx =

ln(

1

x

+

2

√

1+x

2

|x|

)

x 6= 0

61

5.6.3

Derivatives

d

dx

[arcsin hx] =

1

2

√

x

2

+1)

−∞ ≺ x ≺ ∞

d

dx

[arccos hx] =

1

2

√

x

2

−1)

x Â 1

d

dx

[arctan hx] =

1

1

−x

2

|x| ≺ 1

d

dx

[arccot hx] =

1

1

−x

2

|x| Â 1

d

dx

[arcsec hx] =

−

1

x

2

√

1

−x

2

0 ≺ x ≺ 1

d

dx

[arccsc hx] =

−

1

|x|

2

√

1

−x

2

x 6= 0

62