Frene formulalari. Chiziqning natural tenglamalari

Frene formulasi. Egri chiziqning evolyuta va evolventasi

Reja:

1. 
   Frene formulalari.
   
2. 
   Chiziqning natural tenglamalari.
   
3. 
   Egri chiziqning evolpyuta va evolventasi.
   

Egri chiziqning bir nuqtasidan chiquvchi va mos ravishda , ,  vektorlarga parallel bo`lgan uchta yarim to`g`ri chiziqlari, uchi berilgan nuqtada bo`lgan uchyoqli burchakning qirralaridan iborat bo`ladi. Bu uchyoqli burchakni egri chiziqning tabiiy uchyoqli burchagi deyiladi.

Endi , ,  vektorlarning xosilalarini shu vektorlarning o`zlari orqali ifodalanishini topamiz.

Ma‘lumki,

'=r"(s)=k (1)

bo`ladi. ' vektorni ifodalash uchun esa bu vektorni  vektorga parallel ekanligini eslash kifoya, yani ''=x. Bundan

'= (2)

Nixoyat, ' ni ifodalash uchun =[,] tenglikdan foydalanamiz, yani

=[,]'=[',]+[,']=[,]+[,k]=[,]+k[,]=-k-

Shunday qilib, biz quyidagi formulalarni topdik, yani

'=k, '=-k-, '= (3)

Bu formulalar Frene formulalari deb yuritiladi.

Ma‘lumki, egri chiziqning egriligi va buralishi egri chiziq bo`ylab yoy uzunligi s ning funktsiyalaridan iborat. Shuning uchun egrilik va buralishni aniqlovchi

k=k(s), =(s) (4)

funktsiyalar egri chiziqning natural tenglamalari deyiladi.

Shu narsani eslatish mumkinki, egri chiziq fazoda o`zining natural tenglamalari bilan doimiy songa qadar aniqlik bilan berilishi mumkin.

Tekis chiziqning evolpyuta va evolventasi.

Regulyar (uch marta differentsiallanuvchi) egri chiziq va unda yotuvchi ixtiyoriy R gna berilgan bo`lsin. r=r(s) uning tabiiy tenglamasi bo`lsin.

Ta‘rif. Egri chiziqning Р nuqtasidagi egriligiga teskari bo`lgan miqdor egri chiziqning sha nuqtasidagi egrilik radiusi deyiladi va R bilan belgilanadi.

Ta‘rifdan R=1/k ga teng bo`ladi. Agar egri chiziqning Р nuqtasidan o`tuvchi normalida  vektor yo`nalishida egrilik radiusiga teng kesmani ajratsak, u xolda bu kesmaning oxiri egri chiziqning shu nuqtadagi egrilik markazi deyiladi.

Ta‘rif. Egri chiziqning egrilik markazlarining geometrik o`rni egri chiziqning evolpyutasi deyiladi. Evolyutaning tenglamasi r*=r+1/k ko`rinishda bo`ladi.

Endi evolventasi tushunchasini aniqlaymiz. Egri chiziqning biror nuqtasini xisob boshi deb qabul qilamiz va bu nuqtada s=0 deb olamiz. Egri chiziq yoyining barcha nuqtalarida urinma bo`ylab agar s<0 bo`lsa,  vektor yo`nalishida va agar s>0 bo`lsa, unga qarama-qarshi yo`nalishda yoy uzunligi s ga teng kesmalar ajratamiz. Bu kesmalarning ikkinchi uchlarining geometrik o`rni egri chiziqning evolventasi deyiladi. Evolpvetaning tenglamasi R=r-st ko`rinishda aniqlanadi.

Egri chiziq o`zining evolventasi uchun evolyuta bo`lib xisoblanadi. Xaqiqatan xam, evolpvetaning urinma vektori

R'=r'--sk=-sk.

Bu tenglikdan egri chiziqning urinmasi evolpveta uchun normala bular ekan. Bu esa yuqoridagi fikrimizni isbotlaydi. Evolyuta va evolventa texnik muhim tadbiqlarga egadir.

Asosiy adabiyotlar:
1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.,Наука,1990.

2. Нарманов А.Я. Дифференциал геометрия. Т. Университет, 2003

3. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.,1974.

4. Нарманов А.Я. ва бошқалар. Умумий топологиядан машқ ва масалалар тўплами. Т.Университет, 1996.

5. Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. Феденко А.С. М., 1979.

6.Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Введение в дифференциальную геометрию в целом. М., Наука, 1973.

7. Собиров М.А., Юсупов А.Е. Дифференциал геометрия курси. Т., Ўқитувчи, 1965.