Frene formulalari, buralish

TEKIS CHIZIQNING EVOLPYUTA VA EVOLVENTASI.

Egri chiziqning bir nuqtasidan chiquvchi va mos ravishda , ,  vektorlarga parallel bo`lgan uchta yarim to`g`ri chiziqlari, uchi berilgan nuqtada bo`lgan uchyoqli burchakning qirralaridan iborat bo`ladi. Bu uchyoqli burchakni egri chiziqning tabiiy uchyoqli burchagi deyiladi.

Endi , ,  vektorlarning xosilalarini shu vektorlarning o`zlari orqali ifodalanishini topamiz.

Ma‘lumki,

'=r"(s)=k (1)

bo`ladi. ' vektorni ifodalash uchun esa bu vektorni  vektorga parallel ekanligini eslash kifoya, yani ''=x. Bundan

'= (2)

Nixoyat, ' ni ifodalash uchun =[,] tenglikdan foydalanamiz, yani

=[,]'=[',]+[,']=[,]+[,k]=[,]+k[,]=-k-

Shunday qilib, biz quyidagi formulalarni topdik, yani

'=k, '=-k-, '= (3)

Bu formulalar Frene formulalari deb yuritiladi.

Ma‘lumki, egri chiziqning egriligi va buralishi egri chiziq bo`ylab yoy uzunligi s ning funktsiyalaridan iborat. Shuning uchun egrilik va buralishni aniqlovchi

k=k(s), =(s) (4)

funktsiyalar egri chiziqning natural tenglamalari deyiladi.

Shu narsani eslatish mumkinki, egri chiziq fazoda o`zining natural tenglamalari bilan doimiy songa qadar aniqlik bilan berilishi mumkin.

Regulyar (uch marta differentsiallanuvchi) egri chiziq va unda yotuvchi ixtiyoriy R gna berilgan bo`lsin. r=r(s) uning tabiiy tenglamasi bo`lsin.

Ta‘rif. Egri chiziqning Р nuqtasidagi egriligiga teskari bo`lgan miqdor egri chiziqning sha nuqtasidagi egrilik radiusi deyiladi va R bilan belgilanadi.

Ta‘rifdan R=1/k ga teng bo`ladi. Agar egri chiziqning Р nuqtasidan o`tuvchi normalida  vektor yo`nalishida egrilik radiusiga teng kesmani ajratsak, u xolda bu kesmaning oxiri egri chiziqning shu nuqtadagi egrilik markazi deyiladi.

Ta‘rif. Egri chiziqning egrilik markazlarining geometrik o`rni egri chiziqning evolpyutasi deyiladi. Evolyutaning tenglamasi r*=r+1/k ko`rinishda bo`ladi.

Endi evolventasi tushunchasini aniqlaymiz. Egri chiziqning biror nuqtasini xisob boshi deb qabul qilamiz va bu nuqtada s=0 deb olamiz. Egri chiziq yoyining barcha nuqtalarida urinma bo`ylab agar s<0 bo`lsa,  vektor yo`nalishida va agar s>0 bo`lsa, unga qarama-qarshi yo`nalishda yoy uzunligi s ga teng kesmalar ajratamiz. Bu kesmalarning ikkinchi uchlarining geometrik o`rni egri chiziqning evolventasi deyiladi. Evolpvetaning tenglamasi R=r-st ko`rinishda aniqlanadi.

Egri chiziq o`zining evolventasi uchun evolyuta bo`lib xisoblanadi. Xaqiqatan xam, evolpvetaning urinma vektori

R'=r'--s=-s.

Bu tenglikdan egri chiziqning urinmasi evolpveta uchun normala bular ekan. Bu esa yuqoridagi fikrimizni isbotlaydi. Evolyuta va evolventa texnik muhim tadbiqlarga egadir.