Fizika va astronomiya

Ta'rif 4
x 0 nuqtaning e qo’shnisida differentsiallanuvchi va berilgan x 0 nuqtada uzluksizlikka ega bo’lgan y = f (x) funksiya berilgan bo’lsin. Shuning uchun biz buni olamiz
f "(x) > 0 bo'lganda x ∈ (x 0 - e; x 0) va f" (x) bilan< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
qachon f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >x ∈ (x 0 ; x 0 + e) uchun 0, u holda x 0 minimal nuqtadir.
Boshqacha qilib aytganda, biz ularning belgini o'rnatish shartlarini olamiz:
funktsiya x 0 nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda u o'zgaruvchan belgisi bo'lgan hosilaga ega bo'ladi, ya'ni + dan - gacha, bu nuqta maksimal deb ataladi;
funktsiya x 0 nuqtada uzluksiz bo'lsa, u holda - dan + gacha o'zgaruvchan belgisi bo'lgan hosilaga ega bo'ladi, bu nuqta minimal deb ataladi.

Funktsiyaning maksimal va minimal nuqtalarini to'g'ri aniqlash uchun ularni topish algoritmiga rioya qilish kerak:

• 
  ta'rif sohasini toping;
  
• 
  funksiyaning shu sohadagi hosilasini toping;
  
• 
  funktsiya mavjud bo'lmagan nol va nuqtalarni aniqlash;
  
• 
  hosila belgisini intervallarda aniqlash;
  
• 
  funktsiya belgisini o'zgartiradigan nuqtalarni tanlang.
  

Funksiyaning ekstremalini topishning bir nechta misollarini echish misolida algoritmni ko'rib chiqing.
1-misol
Berilgan y = 2 (x + 1) 2 x - 2 funksiyaning maksimal va minimal nuqtalarini toping.
Yechim:
Bu funksiyaning sohasi x = 2 dan tashqari barcha haqiqiy sonlardir. Birinchidan, funktsiyaning hosilasini topamiz va olamiz:
y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 "(x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x) - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2
Bu erda biz funktsiyaning nollari x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2 ekanligini ko'ramiz, ya'ni har bir qavs nolga tenglashtirilishi kerak. Raqamlar qatorida belgilang va quyidagilarni oling:
Endi har bir intervaldan hosila belgilarini aniqlaymiz. Intervalga kiritilgan nuqtani tanlash, uni ifodaga almashtirish kerak. Masalan, x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6 nuqtalar.
Biz buni tushunamiz
y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2 ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, shuning uchun - ∞;- 1 oralig'i musbat hosilaga ega. Xuddi shunday, biz buni olamiz.
y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0
Ikkinchi interval noldan kichik bo'lganligi sababli, segmentdagi lotin manfiy bo'ladi. Uchinchisi minus bilan, to'rtinchisi ortiqcha bilan. Uzluksizlikni aniqlash uchun hosila belgisiga e'tibor berish kerak, agar u o'zgarsa, bu ekstremum nuqtadir.
Biz x = - 1 nuqtada funktsiya uzluksiz bo'lishini tushunamiz, ya'ni hosila belgisi + dan - ga o'zgaradi. Birinchi belgiga ko'ra, bizda x = - 1 maksimal nuqta, ya'ni biz olamiz
y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0
X = 5 nuqtasi funksiya uzluksiz ekanligini bildiradi va hosila belgisi - dan + ga o'zgaradi. Demak, x=-1 minimal nuqta bo'lib, uning topilishi ko'rinishga ega