«физика ва астрономия тарихи» ЎҚув фани бўйича таълим технологияси

4- мавзу: Энг кичик таъсир принципи. Лагранж функцияси ва тенгламалари

Ушбу маърузада талабалар классик механиканинг асосий методларидан бўлган энг кичик таъсир принципи билан яқиндан таништирилади. Шу принцип классик механикада асос қилиб олинади. Бу принципга асосланган классик механика Ньютон қонунларидан анча афзал бўлиб , Лагранж ва Гамильтон функциялари ва уларнинг тенгламалари ёрдамида механиканинг барча тенгламаларини келтириб чиқариш мумкин.

Мазкур принцип асосида француз математиги Жозеф Луи Лагранж ва ирланд физиги Уильям Роуэн Гамильтон механика бутунлай бошқача руҳда таърифланади. Ўхшатиш назариясидан фойдаланган ҳолда Гамильтон моддий нуқта ҳаракат билан ёруғлик тўлқининг ҳаракати орасида ўхшашлик борлигига асосланиб,механика қонунларини янги математика шаклида ёзишга муваффақ бўлди. Хуллас механика қонунлари янги математика шаклида ёзилганда табиатнинг уйғунлиги яънада яққол намоён бўлади Бу эса ўз навбатида биз билмаган яширин принциплар табиатда бисёр кўп эканлигидан дарак беради. Шундан кейин ана шундай яширин принциплардан бирини очилишга сабаб бўлган энг кичик таъсир принципи билан таништирилади.
Энг кичик принципини афзаллиги шундан иборатки, уни механик бўлмаган системалар учун қўллаш мумкин. масалан квант механика ва физиканинг бошқа бўлимлари ва ҳатто бошқа фанларга ҳам қўллаш имконияти очилади. Ньтон механикаси доирасида эса бунинг уддасидан чиқиб бўлмайди. Энг кичик таъсирни S ҳарфи билан белгиланади ва уни одатда таъсир деб аташади. Таъсирни ҳисоблаш учун уни дифференциаллаш ва сўнгра минимумни топиш керак бўлади. Бу одатдаги максимум ва минимумни топиш масаласидан фарқ қилади ваш у боис S ни функционал деб юритишади. Агар функция сон билан сон орасидаги боғланишни характерласа функционал эса функция (эгрилик) ва сон орасидаги боғланишни белгилайди
Қисқа қилиб айтганда , энг кичик таъсир принципи масаласи математика нуқтаи назаридан топиш ва физика жиҳатидан эса ҳақиқий йўлни топишдир. Демак бу маслалар вариацион ҳисоблашлардир
Энг кичик таъсир принцмпинр қуйидагича ёзиш мумкин:
.
Бунда - Лагранж функцияси. - умумлашган тезлик ва умумлашган координата. S- таъсир ёки таъсир интеграли деб аталади ва бирлиги бўлиб. у квант физикасидаги Планк доимийси h билан мос келади. Таъсир вариацияни нолга айлантириш учун таъсир интегралининг вариацияси нолга тенг бўлган вариант танланади. Энг кичик таъсини топиш орқали Лагранж тенгламалари келтирилиб чиқарилади:
.

Демак Лагранж функциясиберилса,у ҳолда, шу тенглама ёрдамида тезланиш, тезлик ва координаталар орасида боғланиш ўрнатилади. Демак Лагранж тенгламалари орқали биз ҳарқандай системанинг ҳаракат тенгламаларини характерлаш имконияти юзага келади.

- Лагранж функцияси, -умумлашган тезлик ва умумлашган координаталар. S-катталик таъсир ёки таъсир интеграли деб аталади ва унинг бирлиги Жоуль cекунддир.