Fizika-matematika fakulteti «Tekislikdagi Lobachevskiy aksiomasi va undan kelib chiqadigan natijalar»

Teorema. Lobachevskiy tekisligida uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi turli uchburchaklar uchun turlicha qiymatga ega, ya’ni o’zgaruvchi miqdordir.
Isbot. Faraz qilaylik, barcha uchburchaklar ichki burchaklarining yig’indisi o’zgarmas bo`lsin. (Ravshanki, .) uchburchak­ning (16-chizma) V uchidan o’tuvchi, tomonini nuqtada kesuvchi nur o’tkazsak, farazga asosan,
bo’lib,
.
Demak, yoki . Bu esa yuqoridagi teoremaga zid.
Har qanday to’rtburchakni ikkita uchburchakka ajratish mumkin bo’lgani uchun quyidagi ikki natijani chiqaramiz.

1. 
   Lobachevskiy tekisligida xar qanday to’rtburchak ichki burchaklarining yig’indisi 360° dan kichik bo’lib, bu son hap xil to’rtburchaklar uchun har xildir.
   
2. 
   Lobachevskiy tekisligida burchak kattaliklari bilan chiziqli kattaliklar orasida bog’lanish mavjud.
   

Lobachevskiy tekisligidagi parallel to’g’ri chiziqlar. Lobachevskiy geometriyasi-ning Yevklid geometriyasidan yana bir asosiy farqi tekislikdagi to’g’ri chiziqlarning joylashuvida yuz beradigan yang hollardan iborat. Yevklid geometriyasida bir tekislikda- gi umumiy nuqtaga ega bo’lmagan to’g’ri chiziqlar parallel deyiladi; Lobachevskiy tekisligida esa parallel to’gri chiziqlarni boshqacha ta’riflashga to’g’ri keladi. to’g’ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan bilan kesishmaydigan cheksiz ko’p to’g’ri chiziq o’tadi. Demak, markazi nuqtada bo’lgan to’g’ri chiziqlar dastasi ikki sinfga ajraladi. Birinchi sinfga dastannig to’g’ri chiziq bilan kesishadigan barcha to’g’ri chiziqlarini, ikkinchi sinfga esa dastaning qolgan hamma to’g’ri chiziqlarini kiritamiz. (Ravshanki, ikkala sinfda ham cheksiz ko’p to’g’ri chiziqlar mavjud.) nuqtadan to’g’ri chiziqqa perpendikulyar tushiraylik xamda to’g’ri chiziqda yo’nalishni aniqlab olaylik. , to’g’ri chiziqlar birinchi sinfga tegishlidir. , bo’lsin, ravshanki . nuqta to’g’ri chiziq bo’ylab aniqlangan yo’nalishda xarakatlanib borsa, to’g’ri chiziq doimo birinchi sinfga tegishli bo’lib boraveradi, u holda burchak xam borgan sari kattalashib boraveradi, lekin doimo 90° dan kichikligicha qoladi.
Shunday burchaklar to’plamini deb belgilaylik, u chegaralangan cheksiz to’plam bo’lganligi sababli, aniq yuqori chegaraga egadir. Uchi nuqtada.bir tomoni nurdan iborat burchaknnng ikkinchi tomoni nurni hosnl qiladi. to’g’ri chiziq quyidagi xossalarga ega:
1°. to`g`ri chiziq bilan kesishmaydn. Haqiqatan ham ularni bi­ror nuqtada kesishadi deb faraz qilsak, to’g’ri chiziqda nuqtadan o’ng tomonda undan farqli nuqtani olib, to’g’ri chiziqni o’tkazsak, to’g’ri chiziq birinchi sinfga tegishli bo’lib, ham ga tegishli bo’ladi, lekin . Bunday bo’lishi mumkin emas, chunki burchak ning aniq yuqori chegarasi.
2°. nuqtadan o’tib, bilan dan kichik burchak hosil qilgan har qanday to’g’ri chiziq bilan kesishadi, chunki bu vaqtda u to’g’ri chiziq birinchi sinfga teshili bo’ladi.
Lobachevskiy yuqoridagi ikki xossaga ega bo’lgan shunday to’gri chiziqni a to’g’ri chiziqqa berilgan yo’nalishda parallel deb ataydi. Demak, Lobachevskiy geometriyasida parallel to’g’ri chiziqlar tushunchasi boshqacha ta’riflanadi: berilgan nuqtadan berilgan to’g’ri chiziqqa roppa-rosa ikkita parallel to’g’ri chiziq o’tadi. Bulardan biri bilan bir xil yo’nalishda, ikkinchisi esa qarama-qarshi yo’nalishdadir. Yevklid geometriyasidagi kabi parallel to’g’ri chizilarni bi­lan belgilaymiz.
Xulosa qilib aytish kerakki, Lobachevskiy tekisligidagi to’g’ri chiziqda yotmagan nuqtadan o’tgan barcha to’g’ri chiziqlar ikki sinf­ga ajralib, birinchi sinfga bilan kesishadiganlari, ikkinchi sinfga esa bilan kesishmaydiganlari kiradi; bu ikkinchi sinfga qarashli to’g’ri chiziqlar uzoqlashuvchi deyiladi. Bu ikki sinf to’gri chiziqlarini ajratib turuvchi to’g’ri chiziqlarni ga parallel deb ataymiz. parallellik burchagi, shu burchakka mos parallellik kesmasi deb ataladi.
Endi parallel to’g’ri chiziqlarning ba’zi xossalariga to’xtab o’taylik: parallel to’g’ri chiziqlarga ta’rif berilganda nuqta maxsus rol o’ynagan edi, hozir bu nuqta o’rniga to’g’ri chiziqdagi boshqa nuqtani olsak ham parallellik ta’rifiga xalal etmasligini ko’r- satamiz.
Teorema. Agar nuqtaga nisbatan bo’lsa, u holda to’g’ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasi uchun xam bo’ladi.
bo’lgani uchun bilan kesishmaydi.
7-teorema. .





Teorema. Ikki to’g’ri chiziqning har biri ma’lum yo’nalishdagi bitta to’g’ri chiziqqa parallel bo’lsa, ular ham shu yo’nalishda o’zaro parallel bo’ladi.
Teorema. Ikki parallel to’g’ri chiziqdan biridagi nuqtadan ikkinchisigacha bo’lgan masofa parallellik yo’nalishi tomon yetarlicha kichiklashib boradi, parallellik yo’nalishiga teskari tomonda esa bu masofa yetarlicha kattalashib boradi (ya’ni parallel to’g’ri chiziqlar parallellik yo’nalishi tomon bir-biriga asimptotik yaqinlashib boradi).
Teorema. Har qanday o’tkir burchakning bir vaqtda bir tomoniga perpendikulyar bo’lib, ikkinchi tomonga parallel to’g’ri chiziq mavjud.
Bu teorema boshqacha quyidagicha ifodalanadi:
Har qanday o’tkir burchak parallellik burchagi bo’la oladi.