Fizika-matematika fakulteti amaliy matematika va informatika kafedrasi matematik tizimlar fanidan

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA

MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

FARG’ONA DAVLAT UNIVERSITETI

FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI

AMALIY MATEMATIKA VA INFORMATIKA KAFEDRASI

MATEMATIK TIZIMLAR FANIDAN

MUSTAQIL ISHI

MAVZU: ODT uchun Koshi va aralash masalarni yechish(Matlab)

BAJARDI:

MUSTAQIL ISH RAHBARI:

Farg’ona-2020

Reja:

1. Matlab paketi

2. Differensial tenglamalar haqida umumiy tushuncha

3. ODT ni analitik usulda yechish. ODTning umumiy yechimi

4. Koshi yoki chegara masalani yechish

Matlab paketi

Matlab simvolli matematika uchun o’rta darajadagi paket hisoblansada, avtomatik loyihalash sohasida keng qo’llanishga mo’ljallangan paket hisoblanadi. Paket matritsaviy operatsiyalarni bajarish uchun yaratilgan bo’lib, bu paketning nomlanishida o’z ifodasini topgan: Matrix Laboratory, ya’ni matritsaviy laboratoriya. Ammo uning programma tili sintaksisi shunday o’ylanganki, uni matrittsaviy hisoblashlar bevosita qiziqtirmaydigan foydalanuvchilar ham ishlatishlari mumkin.

Matlab paketida programmalash uchun keng imkoniyatlar mavjud. Uning C- Math kutubxonasi ma’lumotlarni qayta ishlashni C tildagi 300 dan ortiq tartibda bajarish imkonini beradi. Shuningdek, bu kutubxonada matrittsalar ustida amallar bajarish, chiziqli tenglamalarni yechish, operatorlarni yoyish va xos qiymatlarini topish, matritsaviy o’zgarmaslarni, beta, gamma va elliptik funktsiyalarni hisoblash, statistik ma’lumotlarni tahlil qilish, Fur’e almashtirishlarini bajarish, intrpolyatsiyalash, ko’phadlarning ildizlarini ajratish va topish kabi ishlarni amalga oshirish mumkin.

Matlabning barcha kutubxonalari sonli hisoblashlarni yuqori tezlikda bajarishi bilan ajralib turadi.

Matritsalar nafaqat chiziqli algebra, matematik modellashtirish, statik sistema va ob’ektlar masalalarida qo’llaniladi, balki dinamik ob’ekt va sistemalar holati tenglamalarini tuzish va yechishda ham asos hisoblanadi. Shu sababli Matlab kompyuter matematika paketlarining kuchli universal va yaxlit paketlaridan biriga aylangan.

Paketning kamchiliklariga bitta monitor bilan ishlashda noqulaylik tug’diruvchi ochiq joylarining ko’pligini, axborot tizimining yaxshi yo’lga qo’yilmaganligini, Matlab programm kodi redaktorining o’ziga xosligini hamda hujjatlar hajmining kattaligini (5000ga yaqin sahifali) keltirish mumkin. Bu kamchiliklar paketni o’zlashtirishda muayyan qiyinchiliklarga olib keladi. SHu sababli bu paketdan hozirgi vaqtda ko’proq ilmiy ishlarni bajarishda keng foydalanilmoqda.

1 – ta’rif. Differensial tenglama deb erkli o’zgaruvchi x, noma’lum y=f(x) funksiya va uning u' , u '" ,.....,u (n) hosilalari orasidagi bog‟lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi. Agar izlangan funksiya y=f(x) bitta erkli o’zgaruvchining funksiyasi bo’lsa, u holda differensial tenglama oddiy differentsial tenglama, bir nechta o‟zgaruvchilarning funksiyasi bo‟lsa u=U(x1, x2,...., xn) xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.

2-ta’rif. Differensial tenglamaning tartibi deb tenglamaga kirgan hosilaning eng yuqori tartibiga aytiladi.

3-ta’rif. Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb differensial tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday y=f(x) funksiyaga aytiladi. Birinchi tartibli differentsial tenglama umumiy holda quyidagi ko‟rinishda bo‟ladi. F (x,y, y  )=0 (2.1) Agar bu tenglamani birinchi tartibli xosilaga nisbatan yechish mumkin bo’lsa, u holda y  =f(x,y) (2.2) tenglamaga ega bo‟lamiz. Odatda, (2.2) tenglama hosilaga nisbatan yechilgan tenglama deyiladi. (2.2) tenglama uchun yechimning mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema o‟rinli : Teorema. Agar (2.2) tenglamada f(x,y) funksiya va undan y bo‟yicha olingan df/dy xususiy hosila X0Y tekisligidagi (x0,y0) nuqtani o‟z ichiga oluvchi biror sohada uzluksiz funksiyalar bo‟lsa, u holda berilgan tenglamaning y(x0)=y0 (x) yechimi mavjud.shartnii qanoatlantiruvchi birgina y= x=x0 da y(x) funksiya y0 songa teng bo‟lishi kerak degan shart boshlang‟ich shart deyiladi: y(x0)=y0 4 – ta‟rif. Birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb bitta ixtiyoriy C o‟zgarmas miqdorga bog‟liq quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi (x,с)y= funksiyaga aytiladi: a) bu funksiya differensial tenglamani ixtiyoriy с da qanoatlantiradi; b) x=x0 da y=y0 boshlang‟ich shart har qanday bo‟lganda ham shunday с=с0 (x,с0) funksiya berilgan boshlang‟ich shartni qanoatlantiradi.qiymat topiladiki, y= 5 – ta‟rif. Umumiy yechimni oshkormas holda ifodalovchi F(x,y,с)=0 tenglik (1.1) differentsial tenglamaning umumiy integrali deyiladi. 6 – ta‟rif. Ixtiyoriy с - o‟zgarmas miqdorda с=с0 ma‟lum qiymat berish (x,с0)(x,с) umumiy yechimdan hosil bo‟ladigan har qanday y=natijasida y= funksiya xususiy yechim deyiladi. F(x,y,с0) - xususiy integral deyiladi. 7-ta‟rif. (2.1) differensial tenglama uchun dy/dx=с=const munosabat bajariladigan nuqtalarning geometrik o‟rni berilgan differensial tenglamaning izoklinasi deyiladi.

Differensial tenglamalar va ularning sistemalarini yechish uchun MATLAB paketida quyidagi funksiyalar tashkil qilingan: ode 45( f , interval, X0, options), ode 23( f , interval, X0, options), ode113( f , interval, X0, options), ode15s( f , interval, X0, options), ode 23s( f , interval, X0, options), ode 23t( f , interval, X0, options), ode 23tb( f , interval, X0, options). Bu funksiyalarning kirish parametrlari:  f - vektor funksiya bo`lib, x f x t ( , ) tenglamani hisoblash uchun qo`llanilgan;  X0 - boshlang‟ich shart vektori;  interval- ikkita sondan iborat massiv bo`lib, differensial tenglama yoki sistemaning integrallash intervalini aniqlaydi;  options- differensial tenglama yoki ularning sistemalarini yechishning borishini boshqarish parametri. Barcha funksiyalar quyidagi natijalar chiqaradi: T massiv – yechim izlanayotgan to`rning koordinatalari. X matritsa – i – ustuni yechim vektorining Ti bo`lakdagi qiymati. Ode 45 funksiyada to`rtinchi-beshinchi tartibli Runge-Kutta usuli, ode 23 da ikkinchi – uchinchi tartibli Runge-Kutta usuli, ode 113 funksiyasida esa Adams usuli kiritilgan. Qattiq sistemalarni yechishga mo`ljallangan funsiyalar ode 15s , ya’ni bu funksiyada Gir usuli kiritilgan. Differensial tenglamalar va ularning sistemalarini yechish uchun mo`ljallangan boshqa funksiyalarga ham shu tarzda murojaat qilish mumkin. Differensial tenglamalarni yechishda qo`llaniladigan MATLAB funksiyalarini izchil o`rganish uchun paketning ma’lumotlar tizimiga murojaat qilish zarur.

Matlabda ODT ni analitik usulda yechish uchun dsolve( eq, var, options ) komandasi ishlatiladi, bu yerda eq-tenglama, var-no’malum funksiya, options-parametrlar. Parametrlar ODT ni yechish usulini ko’rsatishi mumkin, masalan, sukut saqlash printsipiga asosan, analitik yechim olish uchun type=exact parametri beriladi. ODT da xrsilani berish uchun diff komandasi ishlatiladi. Masalan, y``+y`=x tenglamasi diff(y(x),x$2+y(x)=x) ko’rinishida yoziladi. ODT ning umumiy yechimi o’zgarmas sonlarni o’z ichiga oladi, masalan, yuqoridagi tenglama ikkita o’zgarmasni o’z ichiga oladi. O’zgarmaslar Maple da _C1, _C2 ko’rinishda belgilanadi.

Ma’lumki, chiziqli ODT bir jinsli (o’ng tomon 0) va bir jinsli bo’lmagan (o’ng tomoni 0 emas) ko’rinishda bo’ladi. Bir jinsli bo’lmagan tenglama yechimi mos bir jinsli tenglamaning xususiy yechimlari yig’indisidan iborat bo’ladi. Maple da ODT ning yechimi ana shunday ko’rinishda chiqariladi, ya’ni o’zgarmaslarni o’z ichiga olgan qism bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi, va o’zgarmas son ishtirok etmagan qismi bir jinsli bo’lmagan tenglamaning xususiy yechimi bo’ladi.

dsolve komandasi bergan yechim hisoblanmaydigan formatga beriladi. Yechim bilan kelajakda ishlash uchun, masalan grafik chizish uchun, uning o’ng tomonini rhs(%) komanda bilan ajratish kerak.

Misollar.

1. y`+ ycosx=sinxcosx tenglama yechilsin.

>restart;

>de:=diff(y(x),x)+y(x)*cos(x)=sin(x)*cos(x);

\\de:=( (/x)*y(x))+y(x)cos(x) = sin(x)*cos(x)

>dsolve(de,y(x));

\\y(x) = sin(x) -1+e^(-sin(x))_C1.

Ya’ni tenglamaning yechimi matematik tilda ushbu ko’rinishga ega:

y(x) = C₁e^(-sin(x))+sin(x)-1.

2. y``-2y`+y=sinx+e^-x tenglamaning umumiy yechimi topilsin.

>restart;

>deq:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)+y(x)=sin(x)+exp(-x);

\\deq:=(( ²/x²)*y(x))-2((/x)*y(x))+y(x)=sin(x)+e^(-x)

>dsolve(deq,y(x));\\y(x)=_C1e^x+_C2e^xx+(1/2)cos(x)+(1/4)e^(-x)

3. y``+k²y=sin(qx) tenglamaning umumiy yechimi q=k, qk holler uchun topilsin.

>restart; de:=diff(y(x),x$2)+k^2*y(x)=sin(q*x);\\de:=((²/x²)y(x))+k²y(x)=sin(qx)

>dsolve(deq,y(x));\\

y(x)=(1/k)((-1/2)((cos(k+q)x)/(k+q))+(1/2)((cos(k-q)x)/(k-q)))sin(kx)-(1/k) ((1/2)((cos(k-q)x)/(k-q))-(1/2)((cos(k+q)x)/(k+q)))cos(kx)+_C1sin(kx)+_C2cos(kx)

Rezonans holatdagi yechim (q=k) ni topamiz:

>q:=k: dsolve(de,y(x));\\

y(x)=(-1/2)((cos(kx)²*sin(kx))/k) –(1/k)((-1/2)(cos(kx)*sin(kx))) _C1sin(kx)+_C2cos(kx)

dsolve komandasi ODT ning bazis yechimlar sistemasini ham topishda ishlatiladi. Uning uchun parametrlar bo’limida output=basis deb ko’rsatish kerak. Masalan, y⁽⁴⁾+2y`+y=0 ODT ning basis yechimlar to’plamini topaylik.

>de:=diff(y(x),x$4)+2*diff(y(x),x$2)+y(x)=0;

\\de:=((⁴/x²⁴)y(x))+ +2((²/x²)y(x))+y(x)=0

>dsolve(de,y(x), output=basis); \\ [ cos(x), sin(x), xcos(x), xsin(x) ]